Упр.29.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.47. а) |x2+7x-7| меньше или равно 2x+7; б)|-x2+5x+1| меньше или равно x2+6x+1; в)|5-4x-x2| < 7-6x-x2; г)|x3-x2-4x-2| меньше или равно -x2-3x-2.

Подробный ответ

$$|x^2+7x-7|\le 2x+7$$

Правая часть должна быть неотрицательной:
$$2x+7\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac72.$$

Решаем систему:
$$\begin{cases} x^2+7x-7\le 2x+7,\\ x^2+7x-7\ge -2x-7. \end{cases}$$
Тогда
$$x^2+5x-14\le 0 \Rightarrow (x+7)(x-2)\le 0 \Rightarrow x\in[-7;2],$$
$$x^2+9x\ge 0 \Rightarrow x(x+9)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;-9]\cup[0;+\infty).$$
С учётом $$x\ge -\frac72$$ получаем
$$x\in[0;2].$$
$$|-x^2+5x+1|\le x^2+6x+1$$

Правая часть неотрицательна:
$$x^2+6x+1\ge 0.$$

Решаем систему:
$$\begin{cases} -x^2+5x+1\le x^2+6x+1,\\ -x^2+5x+1\ge -x^2-6x-1. \end{cases}$$
Отсюда
$$2x^2+x\ge 0 \Rightarrow x(2x+1)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;-\tfrac12]\cup[0;+\infty),$$
$$11x\ge -2 \Rightarrow x\ge -\frac{2}{11}.$$
Пересечение даёт
$$x\in[0;+\infty).$$
$$|5-4x-x^2|<7-6x-x^2$$
Правая часть должна быть положительной:
$$7-6x-x^2>0.$$

Решаем систему:
$$\begin{cases} 5-4x-x^2<7-6x-x^2,\\ 5-4x-x^2>-(7-6x-x^2). \end{cases}$$
Тогда
$$2x<2 \Rightarrow x<1,$$ $$x^2+5x-6<0 \Rightarrow (x+6)(x-1)<0 \Rightarrow x\in(-6;1).$$ С учётом строгого неравенства получаем $$x\in(-6;1).$$
$$|x^3-x^2-4x-2|\le -x^2-3x-2$$

Правая часть неотрицательна:
$$-x^2-3x-2\ge 0 \Rightarrow x^2+3x+2\le 0 \Rightarrow (x+1)(x+2)\le 0,$$
$$x\in[-2;-1].$$

Решаем систему:
$$\begin{cases} x^3-x^2-4x-2\le -x^2-3x-2,\\ x^3-x^2-4x-2\ge x^2+3x+2. \end{cases}$$
Получаем
$$x^3-2x^2-7x\le 0 \Rightarrow x(x^2-2x-7)\le 0,$$
$$x^3-2x^2-7x-4\ge 0 \Rightarrow (x+1)^2(x-4)\ge 0.$$
Из второго неравенства
$$x\ge 4 \text{ или } x=-1.$$
С учётом $$x\in[-2;-1]$$ остаётся только
$$x=-1.$$