Упр.29.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.46 а)| 5x-1/x| < 4x; в)|x-1| меньше или равно (32-14x)/(x+2); б)|(x-1)/(x+2)| < (17x-39)/(20x-20);г)|(x-2)/(x+2) | меньше или равно (x-2)/x.

1. а) $$\left|5x-\frac1x\right|<4x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$4x>0,$$ значит $$x>0.$$

   Тогда

   $$ -4x<5x-\frac1x<4x $$

   Решим по частям:

   $$ 5x-\frac1x>-4x \;\Rightarrow\; 9x-\frac1x>0 \;\Rightarrow\; \frac{9x^2-1}{x}>0 $$
   $$ \frac{(3x-1)(3x+1)}{x}>0 \;\Rightarrow\; x\in\left(-\frac13;0\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right) $$

   $$ 5x-\frac1x<4x \;\Rightarrow\; x-\frac1x<0 \;\Rightarrow\; \frac{x^2-1}{x}<0 $$
   $$ \frac{(x-1)(x+1)}{x}<0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-1)\cup(0;1) $$

   С учётом условия $$x>0$$ получаем

   $$ x\in\left(\frac13;1\right). $$

2. б) $$\left|\frac{x-1}{x+2}\right|<\frac{17x-39}{20x-20}$$

   ОДЗ: $$x\ne-2,\; x\ne1.$$

   Правая часть должна быть положительной, поэтому решаем систему:

   $$ \frac{x-1}{x+2}<\frac{17x-39}{20x-20} \qquad \text{и} \qquad \frac{x-1}{x+2}>-\frac{17x-39}{20x-20} $$

   1) $$\frac{x-1}{x+2}<\frac{17x-39}{20x-20}$$

   $$ \frac{20(x-1)^2-(x+2)(17x-39)}{20(x+2)(x-1)}<0 $$ $$ \frac{3x^2-35x+98}{(x+2)(x-1)}<0 $$ $$ \frac{(x-7)\left(x-\frac{14}{3}\right)}{(x+2)(x-1)}<0 $$ $$ x\in(-2;1)\cup\left(\frac{14}{3};7\right) $$

   2) $$\frac{x-1}{x+2}>-\frac{17x-39}{20x-20}$$

   $$ \frac{20(x-1)^2+(x+2)(17x-39)}{20(x+2)(x-1)}>0 $$
   $$ \frac{37x^2-45x-58}{(x+2)(x-1)}>0 $$
   $$ \frac{(x+2)\left(x-\frac{29}{37}\right)(x-2)}{(x+2)(x-1)}>0 $$
   $$ x\in\left(-\frac{29}{37};1\right)\cup(2;+\infty) $$

   Пересечение полученных множеств:

   $$ x\in\left(-\frac{29}{37};1\right)\cup\left(\frac{14}{3};7\right) $$

3. в) $$|x-1|\le \frac{32-14x}{x+2}$$

   ОДЗ: $$x\ne-2.$$

   Решаем систему:

   $$ x-1\le \frac{32-14x}{x+2} \qquad \text{и} \qquad x-1\ge -\frac{32-14x}{x+2} $$

   1) $$x-1\le \frac{32-14x}{x+2}$$

   $$ \frac{(x-1)(x+2)-(32-14x)}{x+2}\le 0 $$
   $$ \frac{x^2+15x-34}{x+2}\le 0 $$
   $$ \frac{(x+17)(x-2)}{x+2}\le 0 $$
   $$ x\in(-\infty;-17]\cup(-2;2] $$

   2) $$x-1\ge -\frac{32-14x}{x+2}$$

   $$ \frac{(x-1)(x+2)+(32-14x)}{x+2}\ge 0 $$
   $$ \frac{x^2-13x+30}{x+2}\ge 0 $$
   $$ \frac{(x-3)(x-10)}{x+2}\ge 0 $$
   $$ x\in(-2;3]\cup[10;+\infty) $$

   Пересечение:

   $$ x\in(-2;2] $$

4. г) $$\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\le \frac{x-2}{x}$$

   ОДЗ: $$x\ne-2,\; x\ne0.$$

   Решаем систему:

   $$ \frac{x-2}{x+2}\le \frac{x-2}{x} \qquad \text{и} \qquad \frac{x-2}{x+2}\ge -\frac{x-2}{x} $$

   1) $$\frac{x-2}{x+2}\le \frac{x-2}{x}$$

   $$ \frac{x(x-2)-(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\le 0 $$
   $$ \frac{-2(x-2)}{x(x+2)}\le 0 $$
   $$ \frac{x-2}{x(x+2)}\ge 0 $$
   $$ x\in(-2;0)\cup[2;+\infty) $$

   2) $$\frac{x-2}{x+2}\ge -\frac{x-2}{x}$$

   $$ \frac{x(x-2)+(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\ge 0 $$
   $$ \frac{2(x-2)(x-1)}{x(x+2)}\ge 0 $$
   $$ x\in(-\infty;-2)\cup[1;2]\cup(0;+\infty) $$

   Пересечение даёт

   $$ x\in[-1;0)\cup[2;+\infty) $$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac13;1\right);$$
б) $$x\in\left(-\frac{29}{37};1\right)\cup\left(\frac{14}{3};7\right);$$
в) $$x\in(-2;2];$$
г) $$x\in[-1;0)\cup[2;+\infty).$$