Упр.29.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.45. а) |5x + 7| < 8х - 11; в) |5x + 7| меньше или равно 14x2 - 2; б) |5 - 4х| меньше или равно 8x + 17; г) |5 - 4х| меньше или равно 11 - 10x2.

а) $$|5x+7|<8x-11$$

Чтобы неравенство с модулем имело смысл, правая часть должна быть положительной:

$$8x-11>0.$$

Тогда

$$ \begin{cases} 5x+7<8x-11,\\ -(5x+7)<8x-11. \end{cases} $$

Из первого неравенства:

$$5x+7<8x-11 \Rightarrow 18<3x \Rightarrow x>6.$$

Из второго:

$$-5x-7<8x-11 \Rightarrow 4<13x \Rightarrow x>\frac{4}{13}.$$

С учётом условия $$8x-11>0$$ получаем:

$$x>6.$$

б) $$|5-4x|\le 8x+17$$

Необходимо, чтобы $$8x+17\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac{17}{8}.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 5-4x\le 8x+17,\\ -(5-4x)\le 8x+17. \end{cases} $$

Получаем:

$$5-4x\le 8x+17 \Rightarrow -12x\le 12 \Rightarrow x\ge -1,$$

$$4x-5\le 8x+17 \Rightarrow -22\le 4x \Rightarrow x\ge -\frac{11}{2}.$$

С учётом области допустимых значений:

$$x\ge -1.$$

в) $$|5x+7|\le 14x^2-2$$

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$14x^2-2\ge 0.$$

Рассмотрим два неравенства:

$$ \begin{cases} 5x+7\le 14x^2-2,\\ -(5x+7)\le 14x^2-2. \end{cases} $$

Первое:

$$14x^2-5x-9\ge 0.$$

Корни:

$$D=25+504=529,$$

$$x_1=\frac{5-23}{28}=-\frac{9}{14},\qquad x_2=\frac{5+23}{28}=1.$$

Тогда

$$14x^2-5x-9\ge 0 \Rightarrow x\le -\frac{9}{14}\ \text{или}\ x\ge 1.$$

Второе:

$$14x^2+5x+5\ge 0.$$

Здесь $$D=25-280<0,$$ а старший коэффициент положителен, значит неравенство верно при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Итак,

$$x\in\left(-\infty;-\frac{9}{14}\right]\cup[1;+\infty).$$

г) $$|5-4x|\le 11-10x^2$$

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$11-10x^2\ge 0.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 5-4x\le 11-10x^2,\\ -(5-4x)\le 11-10x^2. \end{cases} $$

Первое:

$$10x^2-4x-6\le 0.$$

Корни:

$$D=16+240=256,$$

$$x_1=\frac{4-16}{20}=-\frac{3}{5},\qquad x_2=\frac{4+16}{20}=1.$$

Значит,

$$-\frac{3}{5}\le x\le 1.$$

Второе:

$$10x^2+4x-16\le 0.$$

Корни:

$$D=16+640=656,$$

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{656}}{20}=\frac{-1\pm \sqrt{41}}{5}.$$

Тогда

$$\frac{-1-\sqrt{41}}{5}\le x\le \frac{-1+\sqrt{41}}{5}.$$

Пересечение промежутков даёт:

$$x\in[-0{,}6;1].$$

Ответ

а) $$x\in(6;+\infty)$$; б) $$x\in[-1;+\infty)$$; в) $$x\in\left(-\infty;-\frac{9}{14}\right]\cup[1;+\infty)$$; г) $$x\in[-0{,}6;1].$$