Упр.29.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$|x^2-x|\ge x^2-x.$$

   Пусть $$t=x^2-x.$$ Тогда неравенство имеет вид $$|t|\ge t,$$ а это верно при любом действительном $$t$$.

   Следовательно, решение — все действительные числа.

2. $$\left|x+\frac{1}{|x-2|-|x^2-4|}\right|\ge x+\frac{1}{|x-2|-|x^2-4|}.$$

   Обозначим

   $$A=x+\frac{1}{|x-2|-|x^2-4|}.$$

   Тогда неравенство принимает вид $$|A|\ge A,$$ что верно при всех допустимых значениях $$x$$.

   Найдём область определения:

   $$|x-2|-|x^2-4|\ne 0.$$

   Так как $$|x^2-4|=|x-2||x+2|,$$ получаем

   $$|x-2|\bigl(1-|x+2|\bigr)\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ne 2,\qquad |x+2|\ne 1.$$

   Решая $$|x+2|=1,$$ получаем

   $$x=-3 \text{ или } x=-1.$$

   Итак, область определения:

   $$x\in \mathbb{R},\ x\ne -3,\,-1,\,2.$$

3. $$\left|\frac{x}{x^2-4}\right|\ge \frac{x}{x^2-4}.$$

   Это неравенство вида $$|B|\ge B,$$ поэтому оно верно при всех допустимых значениях $$x$$.

   Область определения:

   $$x^2-4\ne 0,\qquad x\ne \pm 2.$$

4. $$\left|\frac{1}{|x^3-2x^2|-|x-2|}\right|\ge \frac{1}{|x^3-2x^2|-|x-2|}.$$

   Это снова неравенство вида $$|C|\ge C,$$ значит, оно выполняется при всех допустимых значениях $$x$$.

   Найдём область определения:

   $$|x^3-2x^2|-|x-2|\ne 0.$$

   Так как $$x^3-2x^2=x^2(x-2),$$ то

   $$|x^2(x-2)|=|x-2|.$$

   Отсюда

   $$|x-2|\bigl(|x^2|-1\bigr)=0,$$

   то есть

   $$x=2 \text{ или } x^2=1.$$

   Следовательно, нужно исключить

   $$x=-1,\ 1,\ 2.$$

Ответ

а) $$x\in \mathbb{R}.$$

б) $$x\in \mathbb{R},\ x\ne -3,\,-1,\,2.$$

в) $$x\in \mathbb{R},\ x\ne \pm 2.$$

г) $$x\in \mathbb{R},\ x\ne -1,\,1,\,2.$$