Упр.29.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим два случая.

Если $$f(x)\ge 0,$$ то $$|f(x)|=f(x),$$ значит

$$|f(x)|\ge f(x).$$

Если $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x),$$ и тогда

$$|f(x)|\ge f(x) \iff -f(x)\ge f(x) \iff 0\ge 2f(x),$$

что верно при $$f(x)\le 0.$$

Следовательно, неравенство $$|f(x)|\ge f(x)$$ выполняется для всех $$x$$ из области определения $$f(x).$$

б) Аналогично, если $$f(x)\ge 0,$$ то $$|f(x)|=f(x),$$ и получаем

$$|f(x)|>f(x) \iff f(x)>f(x),$$

что невозможно.

Если $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x),$$ поэтому

$$|f(x)|>f(x) \iff -f(x)>f(x) \iff 0>2f(x),$$

то есть $$f(x)<0.$$

Значит, неравенство $$|f(x)|>f(x)$$ равносильно неравенству $$f(x)<0.$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x}{x^2-4}\right|\ge \frac{x}{x^2-4}.$$

Оно выполняется при всех значениях, для которых выражение определено:

$$x^2-4\ne 0,$$

$$x\ne -2,\quad x\ne 2.$$

г) Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{1}{|x^3-2x^2|-|x-2|}\right|\ge \frac{1}{|x^3-2x^2|-|x-2|}.$$

Оно верно при всех значениях из области определения. Найдём её:

$$|x^3-2x^2|-|x-2|\ne 0.$$

Так как $$x^3-2x^2=x^2(x-2),$$ то

$$|x^3-2x^2|=|x^2(x-2)|=x^2|x-2|.$$

Тогда

$$x^2|x-2|-|x-2|=|x-2|(x^2-1)\ne 0.$$

Отсюда

$$x-2\ne 0,\quad x^2-1\ne 0,$$

то есть

$$x\ne 2,\quad x\ne -1,\quad x\ne 1.$$

Ответ

а) верно для всех $$x\in D(f)$$; б) равносильно $$f(x)<0$$; в) $$x\ne -2,\;2$$; г) $$x\ne -1,\;1,\;2$$.