Упр.29.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.4. Решите уравнение для каждого значения параметра р: а) |2x + 1| = р; в) в)|2х + 1| = -1 — 5р; б) |х2 — 1| = (р — 1 )р; г) |x2 — 1| = 4(р — 1) — р2.

1. а) $$|2x+1|=p$$

   Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$p\ge 0$$.

   Если $$p=0$$, то

   $$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$

   Если $$p>0$$, то

   $$ 2x+1=\pm p $$
   $$ 2x=\pm p-1 $$
   $$ x=\frac{\pm p-1}{2}. $$

   При $$p<0$$ решений нет.

2. б) $$|x^2-1|=(p-1)p$$

   Необходимо, чтобы $$ (p-1)p\ge 0 $$, то есть $$p\le 0$$ или $$p\ge 1$$.

   Рассмотрим два случая:

   $$ x^2-1=(p-1)p $$
   или
   $$ x^2-1=-(p-1)p. $$

   Тогда

   $$ x^2=1+p(p-1)=p^2-p+1 $$
   или
   $$ x^2=1-p(p-1)=1+p-p^2. $$

   Для первого случая нужно $$p^2-p+1\ge 0$$, что верно при всех $$p$$, поэтому

   $$x=\pm\sqrt{p^2-p+1}.$$

   Для второго случая нужно

   $$ 1+p-p^2\ge 0 $$
   $$ p^2-p-1\le 0 $$
   $$ \frac{1-\sqrt5}{2}\le p\le \frac{1+\sqrt5}{2}. $$

   С учётом условия $$p\le 0$$ или $$p\ge 1$$ получаем:

   $$p\in\left[\frac{1-\sqrt5}{2},\,0\right]\cup\left[1,\,\frac{1+\sqrt5}{2}\right].$$

   При граничных значениях $$p=0$$ и $$p=1$$ имеем

   $$x=\pm1.$$

   При $$p=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$ получаем

   $$x=0,\quad x=\pm\sqrt2.$$

3. в) $$|2x+1|=-1-5p$$

   Правая часть должна быть неотрицательной:

   $$ -1-5p\ge 0 $$
   $$ p\le -\frac15. $$

   Если $$p=-\frac15$$, то

   $$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$

   Если $$p<-\frac15$$, то

   $$ 2x+1=\pm(-1-5p) $$
   $$ x=\frac{\pm(-1-5p)-1}{2}. $$

   При $$p>-\frac15$$ решений нет.

4. г) $$|x^2-1|=4(p-1)-p^2$$

   Правая часть должна быть неотрицательной:

   $$ 4(p-1)-p^2\ge 0 $$
   $$ -p^2+4p-4\ge 0 $$
   $$ (p-2)^2\le 0. $$

   Отсюда $$p=2$$.

   Тогда

   $$ |x^2-1|=0 $$
   $$ x^2-1=0 $$
   $$ x=\pm1. $$

Ответ

а) при $$p<0$$ корней нет; при $$p=0$$ $$x=-\frac12$$; при $$p>0$$ $$x=\frac{\pm p-1}{2}$$.

б) при $$p\in\left(\,0,1\,\right)$$ корней нет; при $$p=0$$ или $$p=1$$ $$x=\pm1$$; при $$p\in\left[\frac{1-\sqrt5}{2},0\right]\cup\left[1,\frac{1+\sqrt5}{2}\right]$$
$$x=\pm\sqrt{p^2-p+1}$$; при $$p\in\left[\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right]$$ также возможны корни из $$x=\pm\sqrt{1+p-p^2}$$.

в) при $$p>-\frac15$$ корней нет; при $$p=-\frac15$$ $$x=-\frac12$$; при $$p<-\frac15$$ $$x=\frac{\pm(-1-5p)-1}{2}$$.

г) при $$p\ne 2$$ корней нет; при $$p=2$$ $$x=\pm1$$.