Упр.29.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.39 а)|(1-x)/(1+3x) > |1+x|;в)|1-1/x| меньше или равно |2+5/x|; б)|(x-x2)/(1+x-3×2)| > |1-x|; г)|x-1/x| меньше или равно |2×2-2/x|

1. а) $$\left|\frac{1-x}{1+3x}\right|>|1+x|$$

   Так как обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

   $$ \left(\frac{1-x}{1+3x}\right)^2-(1+x)^2>0 $$
   $$ \frac{(1-x)^2-(1+x)^2(1+3x)^2}{(1+3x)^2}>0 $$
   $$ \frac{x(3x+5)(x+1)(3x+1)}{(3x+1)^2}>0 $$
   $$ \frac{x(3x+5)(x+1)}{3x+1}>0,\qquad x\ne -\frac13 $$

   По знакам получаем:

   $$ x\in\left(-\frac53;-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;0\right). $$

2. б) $$\left|\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}\right|>|1-x|$$

   ОДЗ: $$1+x-3x^2\ne 0.$$

   $$ \left(\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}-(1-x)\right) \left(\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}+(1-x)\right)>0 $$
   $$ \frac{(x-x^2)-(1-x)(1+x-3x^2)}{1+x-3x^2} \cdot \frac{(x-x^2)+(1-x)(1+x-3x^2)}{1+x-3x^2}>0 $$
   $$ \frac{(x-1)(3x^2-1)}{1+x-3x^2}\cdot \frac{(x-1)(3x^2-2x-1)}{1+x-3x^2}>0 $$
   $$ \frac{(x-1)^2(3x^2-1)(3x^2-2x-1)}{(1+x-3x^2)^2}>0 $$

   Так как знаменатель положителен при всех допустимых $x$, остаётся решить

   $$ (x-1)^2(3x^2-1)(3x^2-2x-1)>0. $$

   Отсюда

   $$ x\in\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup \left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};-\frac13\right)\cup \left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};1\right). $$

3. в) $$\left|1-\frac1x\right|\le \left|2+\frac5x\right|$$

   ОДЗ: $$x\ne 0.$$

   $$ \left(1-\frac1x-2-\frac5x\right)\left(1-\frac1x+2+\frac5x\right)\le 0 $$
   $$ \left(-1-\frac6x\right)\left(3+\frac4x\right)\le 0 $$
   $$ \frac{(x+6)(3x+4)}{x^2}\ge 0 $$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ получаем

   $$ (x+6)(3x+4)\ge 0. $$

   Ответ:

   $$ x\in(-\infty;-6]\cup\left[-\frac43;0\right)\cup(0;+\infty). $$

4. г) $$\left|x-\frac1x\right|\le \left|2x^2-\frac2x\right|$$

   ОДЗ: $$x\ne 0.$$

   $$ \left(x-\frac1x-2x^2+\frac2x\right)\left(x-\frac1x+2x^2-\frac2x\right)\le 0 $$
   $$ \left(x-2x^2+\frac1x\right)\left(x+2x^2-\frac3x\right)\le 0 $$
   $$ \frac{(x-1)(2x^2+x+1)}{x}\cdot \frac{(x-1)(2x^2+3x+3)}{x}\le 0 $$
   $$ \frac{(x-1)^2(2x^2+x+1)(2x^2+3x+3)}{x^2}\le 0 $$

   Но $$2x^2+x+1>0$$ и $$2x^2+3x+3>0$$ при всех $$x,$$ поэтому

   $$ \frac{(x-1)^2}{x^2}\le 0. $$

   Это возможно только при $$x=1,$$ но при этом левая и правая части равны, значит решение есть. С учётом ОДЗ:

   $$ x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty). $$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac53;-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;0\right);$$
б) $$x\in\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};-\frac13\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};1\right);$$
в) $$x\in(-\infty;-6]\cup\left[-\frac43;0\right)\cup(0;+\infty);$$
г) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$