Упр.29.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.38. а) |х2 — 7х + 3| < |2х2 + 5х - 10|; б) |х2 + 11x - б| меньше или равно 10|х|; в) |х2 + 3x - 5| больше или равно |х2 - 7х + 5|; г) |5х2 - х| больше или равно |х - 5| * |х + 2|.
а) $$|x^2-7x+3|<|2x^2+5x-10|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (x^2-7x+3)^2-(2x^2+5x-10)^2<0 $$
Разложим на множители:
$$ \bigl(x^2-7x+3-(2x^2+5x-10)\bigr)\bigl(x^2-7x+3+(2x^2+5x-10)\bigr)<0 $$
$$ (-x^2-12x+13)(3x^2-2x-7)<0 $$
$$ (x^2+12x-13)(3x^2-2x-7)>0 $$
Найдём корни:
$$ x^2+12x-13=0,\quad D=144+52=196 $$
$$ x_1=-13,\quad x_2=1 $$
$$ 3x^2-2x-7=0,\quad D=4+84=88 $$
$$ x=\frac{2\pm\sqrt{88}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{22}}{3} $$
По знакам произведения получаем:
$$ x\in(-\infty;-13)\cup\left(\frac{1-\sqrt{22}}{3};1\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{22}}{3};+\infty\right) $$
б) $$|x^2+11x-6|\le 10|x|$$
Возведём в квадрат:
$$ (x^2+11x-6)^2\le 100x^2 $$
$$ (x^2+11x-6-10x)(x^2+11x-6+10x)\le 0 $$
$$ (x^2+x-6)(x^2+21x-6)\le 0 $$
Разложим первый множитель:
$$ (x+3)(x-2)(x^2+21x-6)\le 0 $$
Найдём корни второго квадратного трёхчлена:
$$ x^2+21x-6=0,\quad D=441+24=465 $$
$$ x=\frac{-21\pm\sqrt{465}}{2} $$
Упорядочим корни:
$$ \frac{-21-\sqrt{465}}{2}<-3<\frac{-21+\sqrt{465}}{2}<2 $$
По знакам произведения:
$$ x\in\left[\frac{-21-\sqrt{465}}{2};-3\right]\cup\left[\frac{-21+\sqrt{465}}{2};2\right] $$
в) $$|x^2+3x-5|\ge |x^2-7x+5|$$
Возведём в квадрат:
$$ (x^2+3x-5)^2-(x^2-7x+5)^2\ge 0 $$
$$ \bigl((x^2+3x-5)-(x^2-7x+5)\bigr)\bigl((x^2+3x-5)+(x^2-7x+5)\bigr)\ge 0 $$
$$ (10x-10)(2x^2-4x)\ge 0 $$
$$ 20x(x-1)(x-2)\ge 0 $$
$$ x(x-1)(x-2)\ge 0 $$
Отсюда:
$$ x\in[0;1]\cup[2;+\infty) $$
г) $$|5x^2-x|\ge |x-5|\cdot|x+2|$$
Используем свойство $$|a|\cdot|b|=|ab|$$:
$$ |5x^2-x|\ge |x^2-3x-10| $$
Возведём в квадрат:
$$ (5x^2-x)^2-(x^2-3x-10)^2\ge 0 $$
$$ \bigl(5x^2-x-(x^2-3x-10)\bigr)\bigl(5x^2-x+(x^2-3x-10)\bigr)\ge 0 $$
$$ (4x^2+2x+10)(6x^2-4x-10)\ge 0 $$
$$ 2(2x^2+x+5)\cdot 2(3x^2-2x-5)\ge 0 $$
$$ (2x^2+x+5)(3x^2-2x-5)\ge 0 $$
Первый множитель всегда положителен, так как
$$ D=1-40=-39<0 $$
Значит, нужно решить:
$$ 3x^2-2x-5\ge 0 $$
$$ 3x^2-2x-5=(3x-5)(x+1) $$
Тогда:
$$ (3x-5)(x+1)\ge 0 $$
$$ x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{5}{3} $$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;-13)\cup\left(\frac{1-\sqrt{22}}{3};1\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{22}}{3};+\infty\right)$$
б) $$x\in\left[\frac{-21-\sqrt{465}}{2};-3\right]\cup\left[\frac{-21+\sqrt{465}}{2};2\right]$$
в) $$x\in[0;1]\cup[2;+\infty)$$
г) $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac{5}{3};+\infty\right)$$
