Упр.29.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.35 а)|x-4/x| < 3 ; б)|x-4/x| * |x/(x-2)| < 7 в)|x/(x+2) - (x+2)/(x-1)| < 1/2; г)|x/(x+2) - (x+2)/(x-1)| * |(x-1)/(5x+4)| < 1/10.
а)
$$\left|x-\frac{4}{x}\right|<3$$
$$-3<x-\frac{4}{x}<3$$Решим по отдельности:
$$x-\frac{4}{x}>-3 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{x^2+3x-4}{x}>0$$
$$\frac{(x+4)(x-1)}{x}>0$$
$$x\in(-4;0)\cup(1;+\infty)$$$$x-\frac{4}{x}<3 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{x^2-3x-4}{x}<0$$
$$\frac{(x+1)(x-4)}{x}<0$$
$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;4)$$Пересекаем полученные множества:
$$x\in(-4;-1)\cup(1;4)$$б)
$$\left|x-\frac{4}{x}\right|\cdot\left|\frac{x}{x-2}\right|<7$$
$$\left|\frac{x^2-4}{x}\cdot\frac{x}{x-2}\right|<7$$
$$|x+2|<7$$$$-7<x+2<7$$
$$-9<x<5$$С учётом ОДЗ:
$$x\neq 0,\quad x\neq 2$$$$x\in(-9;0)\cup(0;2)\cup(2;5)$$
в)
$$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|<\frac12$$
$$\frac{x(x-1)-(x+2)^2}{(x+2)(x-1)}=\frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}$$
Тогда
$$\left|\frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}\right|<\frac12$$
$$\left|\frac{5x+4}{(x+2)(x-1)}\right|<\frac12$$Решая неравенство методом интервалов, получаем:
$$x\in\left(-\infty;\frac{-11-\sqrt{97}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{-11+\sqrt{97}}{2}\right)\cup(10;+\infty)$$г)
$$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|\cdot\left|\frac{x-1}{5x+4}\right|<\frac{1}{10}$$
Из предыдущего пункта:
$$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|=\left|\frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}\right|$$Тогда
$$\left|\frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}\right|\cdot\left|\frac{x-1}{5x+4}\right|=\frac{1}{|x+2|}$$Получаем:
$$\frac{1}{|x+2|}<\frac{1}{10}$$
$$|x+2|>10$$$$x+2<-10 \;\;\text{или}\;\; x+2>10$$
$$x<-12 \;\;\text{или}\;\; x>8$$С учётом ОДЗ:
$$x\neq -2,\quad x\neq 1,\quad x\neq -\frac45$$$$x\in(-\infty;-12)\cup(8;+\infty)$$
Ответ
а) $$x\in(-4;-1)\cup(1;4)$$;
б) $$x\in(-9;0)\cup(0;2)\cup(2;5)$$;
в) $$x\in\left(-\infty;\frac{-11-\sqrt{97}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{-11+\sqrt{97}}{2}\right)\cup(10;+\infty)$$;
г) $$x\in(-\infty;-12)\cup(8;+\infty)$$.
