Упр.29.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Докажем равносильность неравенства $$|f(x)|<g(x)$$ системе

$$ \begin{cases} f(x)<g(x),\\ f(x)>-g(x). \end{cases} $$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$f(x)\ge 0,$$ то $$|f(x)|=f(x).$$ Тогда неравенство $$|f(x)|<g(x)$$ равносильно неравенству $$f(x)<g(x).$$

2. Если $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x).$$ Тогда

   $$ |f(x)|<g(x)\iff -f(x)<g(x)\iff f(x)>-g(x). $$

Значит, неравенство $$|f(x)|<g(x)$$ выполняется тогда и только тогда, когда одновременно выполняются оба неравенства

$$ f(x)<g(x),\qquad f(x)>-g(x). $$

Следовательно, множество решений неравенства совпадает с множеством решений данной системы.

Ответ

$$|f(x)|<g(x)\iff \begin{cases} f(x)<g(x),\\ f(x)>-g(x). \end{cases}$$