Упр.29.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$x^2+\frac{1}{x^2}-4\left|x+\frac{1}{x}\right|-3\le 0$$

   Пусть $$y=\left|x+\frac{1}{x}\right|$$, тогда

   $$y^2-2-4y-3\le 0$$
   $$y^2-4y-5\le 0$$
   $$(y+1)(y-5)\le 0$$
   $$-1\le y\le 5$$

   Так как $$y\ge 0$$, получаем

   $$\left|x+\frac{1}{x}\right|\le 5$$

   Отсюда

   $$-5\le x+\frac{1}{x}\le 5$$

   Решаем по отдельности:

   $$x+\frac{1}{x}\le 5 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2-5x+1}{x}\le 0$$
   $$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$$
   $$x\in\left(0;\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right]\cup\left[\frac{5+\sqrt{21}}{2};+\infty\right)$$
   $$x+\frac{1}{x}\ge -5 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2+5x+1}{x}\ge 0$$
   $$x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}$$
   $$x\in\left(-\infty;\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\right]\cup\left[\frac{-5+\sqrt{21}}{2};0\right)$$

   Пересекаем с условием $$\left|x+\frac{1}{x}\right|\le 5$$:

   $$x\in\left[\frac{-5-\sqrt{21}}{2};\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\right]\cup\left[\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right]$$

2. $$x^2+\frac{4}{x^2}+\left|x+\frac{2}{x}\right|-16<0$$

   Пусть $$y=\left|x+\frac{2}{x}\right|$$, тогда

   $$y^2-4+y-16<0$$ $$y^2+y-20<0$$ $$(y+5)(y-4)<0$$ $$-5Так как $$y\ge 0$$, то

   $$\left|x+\frac{2}{x}\right|<4$$

   Отсюда

   $$-4-4 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2+4x+2}{x}>0$$
   $$x=-2\pm\sqrt{2}$$
   $$x\in(-2-\sqrt{2};\, -2+\sqrt{2})\cup(0;+\infty)$$

   Пересечение даёт

   $$x\in(-2-\sqrt{2};\, -2+\sqrt{2})\cup(2-\sqrt{2};\, 2+\sqrt{2})$$

3. $$x^2+\frac{1}{x^2}+2\left|x-\frac{1}{x}\right|-10\ge 0$$

   Пусть $$y=\left|x-\frac{1}{x}\right|$$, тогда

   $$y^2+2+2y-10\ge 0$$
   $$y^2+2y-8\ge 0$$
   $$(y+4)(y-2)\ge 0$$
   $$y\le -4 \;\text{или}\; y\ge 2$$

   Так как $$y\ge 0$$, остаётся

   $$\left|x-\frac{1}{x}\right|\ge 2$$

   Решаем:

   $$x-\frac{1}{x}\ge 2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2-2x-1}{x}\ge 0$$
   $$x=1\pm\sqrt{2}$$
   $$x\in(-\infty;\, -1-\sqrt{2}]\cup(0;\, -1+\sqrt{2}]$$
   $$x-\frac{1}{x}\le -2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2+2x-1}{x}\le 0$$
   $$x=-1\pm\sqrt{2}$$
   $$x\in[-1-\sqrt{2};\,0)\cup[-1+\sqrt{2};+\infty)$$

   Итог:

   $$x\in(-\infty;\, -1-\sqrt{2}]\cup[-1+\sqrt{2};\,0)\cup(0;\, -1+\sqrt{2}]\cup[1+\sqrt{2};+\infty)$$

4. $$x^2+\frac{9}{x^2}-4\left|x-\frac{3}{x}\right|-2\le 0$$

   Пусть $$y=\left|x-\frac{3}{x}\right|$$, тогда

   $$y^2+6-4y-2\le 0$$
   $$y^2-4y+4\le 0$$
   $$(y-2)^2\le 0$$
   $$y=2$$

   Значит,

   $$\left|x-\frac{3}{x}\right|=2$$

   Решаем два уравнения:

   $$x-\frac{3}{x}=2 \;\Longleftrightarrow\; x^2-2x-3=0$$
   $$x=-1,\; 3$$
   $$x-\frac{3}{x}=-2 \;\Longleftrightarrow\; x^2+2x-3=0$$
   $$x=-3,\; 1$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{-5-\sqrt{21}}{2};\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\right]\cup\left[\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right]$$;
б) $$x\in(-2-\sqrt{2};\, -2+\sqrt{2})\cup(2-\sqrt{2};\, 2+\sqrt{2})$$;
в) $$x\in(-\infty;\, -1-\sqrt{2}]\cup[-1+\sqrt{2};\,0)\cup(0;\, -1+\sqrt{2}]\cup[1+\sqrt{2};+\infty)$$;
г) $$x\in\{-3,\,-1,\,1,\,3\}$$.