Упр.29.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$\left|x-\frac{2}{x+2}\right|>3,$$ $$x\ne -2.$$
Рассмотрим два случая:
$$x-\frac{2}{x+2}>3 \quad \text{или} \quad x-\frac{2}{x+2}<-3.$$
1) $$x-\frac{2}{x+2}>3$$
$$ \frac{x(x+2)-2-3(x+2)}{x+2}>0 $$
$$ \frac{x^2-x-8}{x+2}>0 $$
$$ x^2-x-8=0,\quad D=1+32=33 $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{33}}{2} $$
Тогда
$$ \frac{\left(x-\frac{1-\sqrt{33}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right)}{x+2}>0. $$
Отсюда
$$ x\in\left(-2;\frac{1-\sqrt{33}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{33}}{2};+\infty\right). $$2) $$x-\frac{2}{x+2}<-3$$
$$ \frac{x(x+2)-2+3(x+2)}{x+2}<0 $$ $$ \frac{x^2+5x+4}{x+2}<0 $$ $$ x^2+5x+4=0,\quad D=25-16=9 $$ $$ x_1=-4,\quad x_2=-1 $$ Тогда $$ \frac{(x+4)(x+1)}{x+2}<0, $$ откуда $$ x\in(-\infty;-4)\cup(-2;-1). $$
Объединяя результаты, получаем:
$$ x\in(-\infty;-4)\cup\left(-2;\frac{1-\sqrt{33}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{33}}{2};+\infty\right). $$
б) $$|x-3|\cdot \left|\frac{3x}{x+2}\right|>2,$$ $$x\ne -2.$$
Так как произведение модулей равно модулю произведения, имеем
$$ \left|\frac{3x(x-3)}{x+2}\right|>2. $$
Значит,
$$\frac{3x(x-3)}{x+2}>2 \quad \text{или} \quad \frac{3x(x-3)}{x+2}<-2.$$
1) $$\frac{3x(x-3)}{x+2}>2$$
$$ \frac{3x^2-11x-4}{x+2}>0 $$
$$ 3x^2-11x-4=0,\quad D=121+48=169 $$
$$ x_1=-\frac13,\quad x_2=4 $$
Тогда
$$ \frac{(x+\frac13)(x-4)}{x+2}>0, $$
откуда
$$ x\in(-2;-\tfrac13)\cup(4;+\infty). $$2) $$\frac{3x(x-3)}{x+2}<-2$$
$$ \frac{3x^2-7x+4}{x+2}<0 $$ $$ 3x^2-7x+4=0,\quad D=49-48=1 $$ $$ x_1=1,\quad x_2=\frac43 $$ Тогда $$ \frac{(x-1)\left(x-\frac43\right)}{x+2}<0, $$ откуда $$ x\in(-\infty;-2)\cup(1;\tfrac43). $$
Объединяя, получаем:
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac13)\cup(1;\tfrac43)\cup(4;+\infty). $$
в) $$\left|\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}\right|>5,$$ $$x\ne -2,\; x\ne 1.$$
Рассмотрим два случая:
$$\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}>5 \quad \text{или} \quad \frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}<-5.$$
1) $$\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}>5$$
$$ \frac{x^2(x-1)-(x^2+2)(x+2)-5(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-1)}>0 $$
$$ \frac{2x^2+3x-14}{(x+2)(x-1)}>0 $$
$$ 2x^2+3x-14=0,\quad D=9+112=121 $$
$$ x_1=-\frac72,\quad x_2=2 $$
Отсюда
$$ x\in\left(-\frac72;-2\right)\cup(1;2). $$2) $$\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}<-5$$
$$ \frac{x^2(x-1)-(x^2+2)(x+2)+5(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-1)}<0 $$ $$ \frac{8x^2+7x-6}{(x+2)(x-1)}<0 $$ $$ 8x^2+7x-6=0,\quad D=49+192=241 $$ $$ x_{1,2}=\frac{-7\pm \sqrt{241}}{16} $$ Тогда $$ x\in\left(-2;\frac{-7-\sqrt{241}}{16}\right)\cup\left(\frac{-7+\sqrt{241}}{16};1\right). $$
Итак,
$$ x\in\left(-\frac72;-2\right)\cup\left(-2;\frac{-7-\sqrt{241}}{16}\right)\cup\left(\frac{-7+\sqrt{241}}{16};1\right)\cup(1;2). $$
г) $$\left|\frac{x}{x+2}+\frac{x}{x-1}\right|\cdot |x^2+x-2|>1,$$ $$x\ne -2,\; x\ne 1.$$
$$ \frac{x}{x+2}+\frac{x}{x-1} =\frac{x(x-1)+x(x+2)}{(x+2)(x-1)} =\frac{x(2x+1)}{(x+2)(x-1)}. $$
Кроме того,
$$ x^2+x-2=(x+2)(x-1). $$
Тогда
$$ \left|\frac{x(2x+1)}{(x+2)(x-1)}\right|\cdot |(x+2)(x-1)|>1, $$
то есть
$$ |x(2x+1)|>1. $$Получаем два неравенства:
$$ 2x^2+x>1 \quad \text{или} \quad 2x^2+x<-1. $$
1) $$2x^2+x-1>0$$
$$ (2x-1)(x+1)>0 $$
$$ x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac12;+\infty\right). $$2) $$2x^2+x+1<0$$
Дискриминант:
$$ D=1-8=-7<0, $$ значит, решений нет.С учётом ОДЗ:
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup\left(\frac12;1\right)\cup(1;+\infty). $$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(-2;\frac{1-\sqrt{33}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{33}}{2};+\infty\right);$$
б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac13)\cup(1;\tfrac43)\cup(4;+\infty);$$
в) $$x\in\left(-\frac72;-2\right)\cup\left(-2;\frac{-7-\sqrt{241}}{16}\right)\cup\left(\frac{-7+\sqrt{241}}{16};1\right)\cup(1;2);$$
г) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup\left(\frac12;1\right)\cup(1;+\infty).$$
