Упр.29.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 29.30 а)|x-4/x| больше или равно -1; б)|x/корень 12x-x2 — корень x2-2x-8| > корень 2 + корень 3 — корень 10

а) Рассмотрим неравенство

$$\left|x-\frac{4}{x}\right|\ge -1.$$

Модуль любого выражения неотрицателен, то есть

$$\left|x-\frac{4}{x}\right|\ge 0.$$

Так как $$0\ge -1,$$ то неравенство верно при всех значениях $$x,$$ для которых выражение определено.

Область определения:

$$x\ne 0.$$

Значит,

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x}{\sqrt{12x-x^2}}-\sqrt{x^2-2x-8}\right|>\sqrt2+\sqrt3-\sqrt{10}.$$

Сначала найдём область определения.

Для первого корня:

$$12x-x^2>0,$$

$$x(12-x)>0,$$

откуда

$$0<x<12.$$

Для второго корня:

$$x^2-2x-8\ge 0,$$

$$ (x-4)(x+2)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

Пересечение условий:

$$x\in[4;12).$$

Теперь оценим правую часть:

$$\sqrt2+\sqrt3-\sqrt{10}<0,$$

так как $$\sqrt{10}>\sqrt2+\sqrt3.$$

Левая часть — модуль, значит

$$\left|\frac{x}{\sqrt{12x-x^2}}-\sqrt{x^2-2x-8}\right|\ge 0.$$

Следовательно, при всех $$x$$ из области определения неравенство выполняется.

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$

б) $$x\in[4;12).$$