Упр.29.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
$$|2\sin x+1|+|-1+2\cos x|=2|\sin x+\cos x|$$
Заметим, что
$$2|\sin x+\cos x|=|(2\sin x+1)+(2\cos x-1)|.$$
Равенство $$|a|+|b|=|a+b|$$ выполняется тогда и только тогда, когда $$ab\ge 0$$. Поэтому
$$ (2\sin x+1)(2\cos x-1)\ge 0. $$
Отсюда получаем две системы:
$$ \begin{cases} 2\sin x+1\ge 0,\\ 2\cos x-1\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2\sin x+1\le 0,\\ 2\cos x-1\le 0 \end{cases} $$
1) $$\sin x\ge -\frac12,\quad \cos x\ge \frac12.$$
Тогда
$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right].$$
2) $$\sin x\le -\frac12,\quad \cos x\le \frac12.$$
Тогда
$$x\in\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right].$$
Итак,
$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\left|\frac{\lg^2 x}{4}-1\right|+\left|\frac{\lg x-3}{2}+1\right|=\left|\frac{\lg^2 x}{4}+\frac{\lg x-3}{2}\right|$$
Область определения: $$x>0.$$
Пусть
$$a=\frac{\lg^2 x}{4}-1,\qquad b=\frac{\lg x-3}{2}+1.$$
Тогда правая часть равна $$|a+b|$$, и равенство возможно при $$ab\ge 0$$:
$$ \left(\frac{\lg^2 x}{4}-1\right)\left(\frac{\lg x-3}{2}+1\right)\ge 0. $$
Упростим множители:
$$ \frac{\lg^2 x}{4}-1=\frac{(\lg x-2)(\lg x+2)}{4}, \qquad \frac{\lg x-3}{2}+1=\frac{\lg x-1}{2}. $$
Тогда
$$ (\lg x-2)(\lg x+2)(\lg x-1)\ge 0. $$
Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
$$ (t-2)(t+2)(t-1)\ge 0. $$
По знакам на промежутках получаем
$$t\in[-2;1]\cup[2;+\infty).$$
Возвращаясь к $$x$$, имеем
$$x\in[10^{-2};10]\cup[10^2;+\infty).$$
$$|2\sin 2x-\sqrt3|+|\sqrt3+2\cos x|=2|\sin 2x+\cos x|$$
Аналогично предыдущим пунктам,
$$ (2\sin 2x-\sqrt3)(\sqrt3+2\cos x)\ge 0. $$
Рассмотрим случаи.
1) $$2\sin 2x-\sqrt3\ge 0,\quad \sqrt3+2\cos x\ge 0.$$
Тогда
$$\sin 2x\ge \frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos x\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$
Отсюда
$$ x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{3}+\pi n\right] \cap \left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]. $$
2) $$2\sin 2x-\sqrt3\le 0,\quad \sqrt3+2\cos x\le 0.$$
Тогда
$$\sin 2x\le \frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos x\le -\frac{\sqrt3}{2}.$$
Отсюда
$$ x\in\left[\frac{5\pi}{6}+\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+\pi n\right] \cap \left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right]. $$
После объединения получаем
$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
$$|2-\lg x|+\left|\log_5(x^2-7x+7)-2\right|=\left|\log_5(x^2-7x+7)-\lg x\right|$$
Область определения:
$$x>0,\qquad x^2-7x+7>0.$$
Заметим, что
$$ \left(2-\lg x\right)+\left(\log_5(x^2-7x+7)-2\right)=\log_5(x^2-7x+7)-\lg x. $$
Значит, равенство возможно при
$$ (2-\lg x)\left(\log_5(x^2-7x+7)-2\right)\ge 0. $$
Решим неравенства:
$$2-\lg x\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le 100,$$
$$\log_5(x^2-7x+7)-2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-7x+7\ge 25,$$
$$x^2-7x-18\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; (x+2)(x-9)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -2 \;\text{или}\; x\ge 9.$$
С учётом $$x>0$$ и $$x\le 100$$ получаем
$$x\in[9;100].$$
Ответ
а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x\in[10^{-2};10]\cup[10^2;+\infty);$$
в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x\in[9;100].$$
