Упр.29.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.24. Решите уравнение: а)|x2+4x|+|-x2+9| = |4x+9|; б)|(x+1)2/x — x-1|+|(x+1)/x -2| = |(x+1)2/x + (x+1)/x — x-3|; в)|x3+3×2-x-3|+|2×2-x3+7x+4| = |5×2+6x+1|; г)|(x+2)/(x+1) + 4| + |(3-x)/(x+1) — 3x -3| = |1-3x+5/(x+1) |

Подробный ответ

$$|x^2+4x|+|-x^2+9|=|4x+9|$$
Проверим, когда сумма двух модулей равна модулю суммы:
$$\bigl(x^2+4x\bigr)\bigl(-x^2+9\bigr)\ge 0.$$
$$x(x+4)(3-x)(3+x)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[-4;-3]\cup[0;3].$$
$$\left|\frac{(x+1)^2}{x}-x-1\right|+\left|\frac{x+1}{x}-2\right|=\left|\frac{(x+1)^2}{x}+\frac{x+1}{x}-x-3\right|,$$
$$x\ne 0.$$
Проверим условие:
$$\left(\frac{(x+1)^2}{x}-x-1\right)\left(\frac{x+1}{x}-2\right)\ge 0.$$
Упростим выражения:
$$\frac{(x+1)^2}{x}-x-1=\frac{x+1}{x},$$
$$\frac{x+1}{x}-2=\frac{1-x}{x}.$$
Тогда
$$\frac{x+1}{x}\cdot\frac{1-x}{x}\ge 0,$$
$$\frac{(x+1)(1-x)}{x^2}\ge 0.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ получаем
$$ (x+1)(1-x)\ge 0.$$
Отсюда с учётом $$x\ne 0$$:
$$x\in[-1;0)\cup(0;1].$$
$$|x^3+3x^2-x-3|+|2x^2-x^3+7x+4|=|5x^2+6x+1|.$$
Проверим условие:
$$\bigl(x^3+3x^2-x-3\bigr)\bigl(2x^2-x^3+7x+4\bigr)\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x+1)(x-1),$$
$$2x^2-x^3+7x+4=(x+1)^2(4-x).$$
Тогда
$$ (x+3)(x+1)(x-1)(x+1)^2(4-x)\ge 0,$$
$$ (x+3)(x+1)(x-1)(4-x)\ge 0.$$
Решая методом интервалов, получаем:
$$x\in[-3;-1]\cup[1;4].$$
$$\left|\frac{x+2}{x+1}+4\right|+\left|\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right|=\left|1-3x+\frac{5}{x+1}\right|,$$
$$x\ne -1.$$
Проверим условие:
$$\left(\frac{x+2}{x+1}+4\right)\left(\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right)\ge 0.$$
Упростим:
$$\frac{x+2}{x+1}+4=\frac{5x+6}{x+1},$$
$$\frac{3-x}{x+1}-3x-3=\frac{-3x^2-7x}{x+1}=-\frac{x(3x+7)}{x+1}.$$
Тогда
$$\frac{5x+6}{x+1}\cdot\left(-\frac{x(3x+7)}{x+1}\right)\ge 0,$$
$$-\frac{x(3x+7)(5x+6)}{(x+1)^2}\ge 0.$$
Так как $$ (x+1)^2>0 $$ при $$x\ne -1,$$ получаем
$$x(3x+7)(5x+6)\le 0,\quad x\ne -1.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;-\tfrac73]\cup[-\tfrac65;-1)\cup(-1;0].$$