Упр.29.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.23. Докажите, что уравнение |f(х)| + |h(х)| = |f(х) + h(х)| равносильно неравенству f(x) * h(x) больше или равно 0.

Рассмотрим равенство

$$|f(x)|+|h(x)|=|f(x)+h(x)|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\bigl(|f(x)|+|h(x)|\bigr)^2=|f(x)+h(x)|^2.$$

Тогда

$$f^2(x)+2|f(x)|\,|h(x)|+h^2(x)=\bigl(f(x)+h(x)\bigr)^2=f^2(x)+2f(x)h(x)+h^2(x).$$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем

$$|f(x)|\,|h(x)|=f(x)h(x).$$

Но $$|f(x)|\,|h(x)|=|f(x)h(x)|,$$ значит

$$|f(x)h(x)|=f(x)h(x).$$

Это возможно тогда и только тогда, когда

$$f(x)h(x)\ge 0.$$

Следовательно, уравнение $$|f(x)|+|h(x)|=|f(x)+h(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)h(x)\ge 0.$$

Ответ

$$f(x)h(x)\ge 0.$$