Упр.29.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.22. Решите уравнение: а)|x2+2x-3|+|-x2+2x+8| = 4x+5; б)|x2/(x-1) — x| + |x/(x-1) — 2| = x2/(x-1) + x/(x-1) -x -2; в)|x3-4x| + |5×2-x3| = 5×2-4x; г)|(x+1)/x + 4| + |(4-x)/x — 3x| = 4-3x+5/x.
а) Рассмотрим систему неравенств, при которой модули раскрываются без изменения знака:
$$ \begin{cases} x^2+2x-3 \ge 0,\\ -x^2+2x+8 \ge 0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ x^2+2x-3=0,\quad D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16, $$
$$ x_1=-3,\quad x_2=1,\quad (x+3)(x-1)\ge 0. $$
Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 1.$$
Второе неравенство:
$$ -x^2+2x+8\ge 0 \iff x^2-2x-8\le 0, $$
$$ x^2-2x-8=0,\quad D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36, $$
$$ x_1=-2,\quad x_2=4,\quad (x+2)(x-4)\le 0. $$
Отсюда $$-2\le x\le 4.$$
Пересечение решений:
$$ (x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 1)\cap[-2;4]=[1;4]. $$
б) Область определения: $$x\ne 1.$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{x-1}-x \ge 0,\\[4pt] \dfrac{x}{x-1}-2 \ge 0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ \dfrac{x^2-x(x-1)}{x-1}\ge 0 \iff \dfrac{x}{x-1}\ge 0. $$
Отсюда $$x\in(-\infty;0]\cup(1;+\infty).$$
Второе неравенство:
$$ \dfrac{x-2(x-1)}{x-1}\ge 0 \iff \dfrac{2-x}{x-1}\ge 0. $$
Отсюда $$x\in(1;2].$$
Пересечение:
$$ \bigl((-\infty;0]\cup(1;+\infty)\bigr)\cap(1;2]=(1;2]. $$
в) Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} x^3-4x \ge 0,\\ 5x^2-x^3 \ge 0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\ge 0, $$
откуда $$x\in[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Второе неравенство:
$$ 5x^2-x^3=x^2(5-x)\ge 0, $$
откуда $$x\le 5.$$
Пересечение:
$$ \bigl([-2;0]\cup[2;+\infty)\bigr)\cap(-\infty;5]=[-2;0]\cup[2;5]. $$
г) Область определения: $$x\ne 0.$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x}+4 \ge 0,\\[4pt] \dfrac{4-x}{x}-3x \ge 0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ \dfrac{x+1+4x}{x}\ge 0 \iff \dfrac{5x+1}{x}\ge 0. $$
Отсюда $$x\in(-\infty;-\tfrac15]\cup(0;+\infty).$$
Второе неравенство:
$$ \dfrac{4-x-3x^2}{x}\ge 0 \iff \dfrac{3x^2+x-4}{x}\le 0. $$
$$ 3x^2+x-4=0,\quad D=1+48=49, $$
$$ x_1=-\dfrac43,\quad x_2=1. $$
Отсюда $$x\in(-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1].$$
Пересечение:
$$ \bigl((-\infty;-\tfrac15]\cup(0;+\infty)\bigr)\cap\bigl((-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1]\bigr) =(-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1]. $$
Ответ
а) $$x\in[1;4]$$; б) $$x\in(1;2]$$; в) $$x\in[-2;0]\cup[2;5]$$; г) $$x\in(-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1]$$.
