Упр.29.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.21 Докажите, что уравнение |f(x)| + |h(x)| = f(x)+h(x) равносильно системе f(x) больше или равно 0, h(x) больше или равно 0.

Докажем равносильность.

Если $$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x),$$ то правая часть равна сумме двух неотрицательных чисел, значит она неотрицательна. Кроме того, для любых чисел верно $$|f(x)|\ge f(x), \qquad |h(x)|\ge h(x).$$

Равенство суммы модулей и суммы самих выражений возможно только тогда, когда каждое из выражений неотрицательно. Действительно, если бы, например, $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x)>f(x),$$ и равенство было бы невозможно. Аналогично получаем $$h(x)\ge 0.$$

Значит, из уравнения следует система

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0. \end{cases} $$

Обратно, если

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0, \end{cases} $$

то $$|f(x)|=f(x)$$ и $$|h(x)|=h(x),$$ поэтому

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x).$$

Следовательно, уравнение равносильно системе

$$ \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0. \end{cases} $$

Ответ

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x)\iff \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$