Упр.29.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.20 Решите уравнение: а)x/(x+2) + |x2-2x-8| = x/(x+2); б)|sin2x/(x+4) + |x2-5x-24| = -sin2x/(x+4); в)|sin2x/(x+4)| + |sin2Пиx + sinПиx| = x/(x-1); г)|x/sinx|+|3sinx-sin3x|=x/sinx.

Подробный ответ

а) Перенесём дробь в правую часть:
$$\left|\frac{x}{x+2}\right|+|x^2-2x-8|=\frac{x}{x+2}$$
Так как $$\left|\frac{x}{x+2}\right|\ge \frac{x}{x+2}$$, то равенство возможно только при
$$\frac{x}{x+2}\ge 0$$
и одновременно
$$x^2-2x-8=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$x^2-2x-8=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=4.$$
Проверим условие $$\frac{x}{x+2}\ge 0$$: число $$x=-2$$ не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. Для $$x=4$$ имеем
$$\frac{4}{4+2}=\frac23\ge 0.$$
б) Аналогично:
$$\left|\frac{\sin 2x}{x+4}\right|+|x^2-5x-24|=-\frac{\sin 2x}{x+4}$$
Значит, необходимо и достаточно, чтобы
$$x^2-5x-24=0,\qquad -\frac{\sin 2x}{x+4}\ge 0.$$
Решим уравнение:
$$x^2-5x-24=0$$
$$D=25+96=121$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 11}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=8.$$
Проверим неравенство:
при $$x=-3$$
$$-\frac{\sin(-6)}{-3+4}=-\sin 6<0,$$
при $$x=8$$
$$-\frac{\sin 16}{8+4}=-\frac{\sin 16}{12}>0.$$
в) Имеем систему:
$$\left|\frac{x}{x-1}\right|+\left|\sin 2\pi x+\sin \pi x\right|=\frac{x}{x-1}$$
Следовательно, нужно, чтобы
$$\frac{x}{x-1}\ge 0,\qquad \sin 2\pi x+\sin \pi x=0.$$
Решим уравнение:
$$\sin 2\pi x+\sin \pi x=0$$
$$2\sin \pi x\cos \pi x+\sin \pi x=0$$
$$\sin \pi x\,(2\cos \pi x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin \pi x=0 \quad \text{или} \quad \cos \pi x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=n,\qquad x=\pm \frac23+2n,\qquad n\in \mathbb Z.$$
Теперь учтём условие $$\frac{x}{x-1}\ge 0$$, то есть $$x\le 0$$ или $$x>1$$, а также $$x\ne 1.$$
г) Запишем уравнение:
$$\left|\frac{x}{\sin x}\right|+\left|3\sin x-\sin 3x\right|=\frac{x}{\sin x}$$
Так как
$$3\sin x-\sin 3x=3\sin x-(3\sin x-4\sin^3 x)=4\sin^3 x,$$
то уравнение равносильно системе
$$4\sin^3 x=0,\qquad \frac{x}{\sin x}\ge 0.$$
Из первого уравнения получаем
$$\sin x=0.$$
Но тогда выражение $$\frac{x}{\sin x}$$ не определено. Следовательно, решений нет.