Упр.29.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.19 Докажите,что уравнение |f(x)|+|h(x)| = f(x) равносильно системе h(x)=0, f(x) больше или равно 0.

Пусть $$x$$ — решение уравнения $$|f(x)|+|h(x)|=f(x).$$

Так как $$|f(x)|\ge 0$$ и $$|h(x)|\ge 0,$$ то левая часть неотрицательна. Значит, и правая часть неотрицательна:

$$f(x)\ge 0.$$

При $$f(x)\ge 0$$ имеем $$|f(x)|=f(x),$$ поэтому уравнение принимает вид

$$f(x)+|h(x)|=f(x).$$

Отсюда

$$|h(x)|=0,$$

то есть

$$h(x)=0.$$

Следовательно, любое решение уравнения удовлетворяет системе

$$\begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$

Обратно, пусть $$x$$ удовлетворяет системе

$$\begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$

Тогда $$|h(x)|=0,$$ а при $$f(x)\ge 0$$ имеем $$|f(x)|=f(x).$$ Подставляя в левую часть уравнения, получаем

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+0=f(x).$$

Значит, каждое решение системы является решением исходного уравнения.

Итак, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$

Ответ

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)\iff \begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$