Упр.29.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.18. а) | sinx| + cos|x/2| — = 0; б) |sin3x + cos3x| + |cos6x| = 0; в) |cos2x| + |sin4x| = 0; г)|корень 3 sin3x- cos3x| + |1-cos(6x-Пи/3)|=0.

1. а) $$|\sin x|+ \left|\cos \frac{x}{2}\right|=0.$$

   Сумма модулей равна нулю только тогда, когда каждый модуль равен нулю:

   $$ \sin x=0, \qquad \cos \frac{x}{2}=0. $$

   $$ x=\pi n, \qquad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n. $$

   Общие решения этих уравнений имеют вид:

   $$ x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

2. б) $$|\sin 3x+\cos 3x|+|\cos 6x|=0.$$

   Тогда

   $$ \sin 3x+\cos 3x=0, \qquad \cos 6x=0. $$

   Из первого уравнения:

   $$ \tg 3x=-1 \Rightarrow 3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}. $$

   Из второго уравнения:

   $$ 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}. $$

   Подходит только общее решение первого уравнения, так как при нём автоматически выполняется и второе:

   $$ x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z. $$

3. в) $$|\cos 2x|+|\sin 4x|=0.$$

   Следовательно,

   $$ \cos 2x=0, \qquad \sin 4x=0. $$

   Из первого уравнения:

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$

   Из второго уравнения:

   $$ 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}. $$

   Общие решения:

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z. $$

4. г) $$\left|\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x\right|+\left|1-\cos\left(6x-\frac{\pi}{3}\right)\right|=0.$$

   Тогда

   $$ \sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=0, \qquad 1-\cos\left(6x-\frac{\pi}{3}\right)=0. $$

   Из второго уравнения:

   $$ \cos\left(6x-\frac{\pi}{3}\right)=1 $$
   $$ 6x-\frac{\pi}{3}=2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}. $$

   Первое уравнение преобразуем:

   $$ \sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=0 $$
   $$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x\right)=0 $$
   $$ \sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=0. $$

   $$ 3x-\frac{\pi}{6}=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}. $$

   Это и есть общее решение.

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi n;$$
б) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3};$$
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};$$
г) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z.$$