Упр.29.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 29.16 а)|x2-4x+3| + |x2-5x+4|=0; б)|4x/x2(x+1) — (5x+1)/(x+2) + |x2+x-2| = 0; в)|x2-2x|+|2×2-5x+2|=0; г)|3x/(2x+1)-(1-4x)/x3(x+6)| + |x2-6x-7|=0.

Подробный ответ

$$|x^2-4x+3|+|x^2-5x+4|=0$$

Сумма модулей равна нулю только тогда, когда каждый модуль равен нулю:
$$\begin{cases} x^2-4x+3=0,\\ x^2-5x+4=0. \end{cases}$$
Решим уравнения:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3,$$
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=4.$$
Общий корень один:
$$x=1.$$
$$\left|\frac{4x}{x^2(x+1)}-\frac{5x+1}{x+2}\right|+|x^2+x-2|=0$$

Область допустимых значений:
$$x\ne 0,\quad x\ne -1,\quad x\ne -2.$$
Снова сумма модулей равна нулю только при равенстве нулю каждого выражения:
$$\begin{cases} \dfrac{4x}{x^2(x+1)}-\dfrac{5x+1}{x+2}=0,\\ x^2+x-2=0. \end{cases}$$
Второе уравнение:
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0,$$
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$
Но $x=-2$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся $x=1$.
Проверим первое уравнение при $x=1$:
$$\frac{4\cdot 1}{1^2(1+1)}-\frac{5\cdot 1+1}{1+2}=2-2=0.$$
Следовательно,
$$x=1.$$
$$|x^2-2x|+|2x^2-5x+2|=0$$

Тогда
$$\begin{cases} x^2-2x=0,\\ 2x^2-5x+2=0. \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$
Второе уравнение:
$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=\frac12 \text{ или } x=2.$$
Общий корень:
$$x=2.$$
$$\left|\frac{3x}{2x+1}-\frac{1-4x}{x^3(x+6)}\right|+|x^2-6x-7|=0$$

ОДЗ:
$$x\ne -\frac12,\quad x\ne 0,\quad x\ne -6.$$
Тогда
$$\begin{cases} \dfrac{3x}{2x+1}-\dfrac{1-4x}{x^3(x+6)}=0,\\ x^2-6x-7=0. \end{cases}$$
Второе уравнение:
$$x^2-6x-7=(x-7)(x+1)=0,$$
$$x=7 \text{ или } x=-1.$$
Проверим первое выражение:
при $$x=7$$
$$\frac{3\cdot 7}{2\cdot 7+1}-\frac{1-4\cdot 7}{7^3(7+6)}=\frac{21}{15}+\frac{27}{343\cdot 13}\ne 0;$$
при $$x=-1$$
$$\frac{3\cdot (-1)}{2\cdot (-1)+1}-\frac{1-4\cdot (-1)}{(-1)^3(-1+6)}=\frac{3}{1}-\frac{5}{-5}\ne 0.$$
Значит, корней нет.