Упр.29.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.14. а) |x — 5| + 4|х| = 17; в) |х + 10| — 2|х — 10| = 11; б) 2|х — 5| — |х + 6| = 7;г) 3|4х — 5| = 2|-х| + 1.

Подробный ответ

а) Рассмотрим промежутки, на которых знаки выражений под модулем постоянны:
$$x<0,\quad 0\le x<5,\quad x\ge 5.$$
Если $$x<0,$$ то
$$|x-5|+4|x|=17 \Rightarrow (5-x)+4(-x)=17,$$
$$5-5x=17,$$
$$x=-\frac{12}{5}.$$
Если $$0\le x<5,$$ то
$$|x-5|+4|x|=17 \Rightarrow (5-x)+4x=17,$$
$$3x=12,$$
$$x=4.$$
Если $$x\ge 5,$$ то
$$|x-5|+4|x|=17 \Rightarrow (x-5)+4x=17,$$
$$5x=22,$$
$$x=\frac{22}{5},$$
но это значение не подходит, так как $$\frac{22}{5}<5.$$
Ответ: $$-\frac{12}{5},\ 4.$$
б) Разобьём числовую прямую точками $$-6$$ и $$5.$$
Если $$x<-6,$$ то
$$2|x-5|-|x+6|=7 \Rightarrow 2(5-x)-(-(x+6))=7,$$
$$10-2x+x+6=7,$$
$$x=9,$$
но это значение не подходит.
Если $$-6\le x<5,$$ то
$$2|x-5|-|x+6|=7 \Rightarrow 2(5-x)-(x+6)=7,$$
$$10-2x-x-6=7,$$
$$3x=-3,$$
$$x=-1.$$
Если $$x\ge 5,$$ то
$$2|x-5|-|x+6|=7 \Rightarrow 2(x-5)-(x+6)=7,$$
$$2x-10-x-6=7,$$
$$x=23.$$
Ответ: $$-1,\ 23.$$
в) Рассмотрим точки $$-10$$ и $$10.$$
Если $$x<-10,$$ то
$$|x+10|-2|x-10|=11 \Rightarrow -(x+10)-2(10-x)=11,$$
$$-x-10-20+2x=11,$$
$$x=41,$$
но это значение не подходит.
Если $$-10\le x<10,$$ то
$$|x+10|-2|x-10|=11 \Rightarrow (x+10)-2(10-x)=11,$$
$$x+10-20+2x=11,$$
$$3x=21,$$
$$x=7.$$
Если $$x\ge 10,$$ то
$$|x+10|-2|x-10|=11 \Rightarrow (x+10)-2(x-10)=11,$$
$$x+10-2x+20=11,$$
$$x=19.$$
Ответ: $$7,\ 19.$$
г) Точки смены знака: $$x=0$$ и $$x=\frac{5}{4}.$$
Если $$x<0,$$ то
$$3|4x-5|=2|-x|+1 \Rightarrow 3(5-4x)=2(-x)+1,$$
$$15-12x=-2x+1,$$
$$10x=14,$$
$$x=\frac{7}{5},$$
но это значение не подходит.
Если $$0\le x<\frac{5}{4},$$ то
$$3|4x-5|=2|-x|+1 \Rightarrow 3(5-4x)=2x+1,$$
$$15-12x=2x+1,$$
$$14x=14,$$
$$x=1.$$
Если $$x\ge \frac{5}{4},$$ то
$$3|4x-5|=2|-x|+1 \Rightarrow 3(4x-5)=2x+1,$$
$$12x-15=2x+1,$$
$$10x=16,$$
$$x=\frac{8}{5}.$$
Ответ: $$1,\ \frac{8}{5}.$$