Упр.29.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 29.13. а) |х2 — 5х| = 4|x|; б) |2х — х2 + 3| = |х + 3|; в) |х2 — 6х + 10| = |x + 10|; г) |-х2 + 4х — 8| = 2|-x| .

1. а) $$|x^2-5x|=4|x|.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-5x=4x \quad \Rightarrow \quad x^2-9x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-9)=0,$$
   откуда $$x=0$$ или $$x=9.$$

   $$x^2-5x=-4x \quad \Rightarrow \quad x^2-x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-1)=0,$$
   откуда $$x=0$$ или $$x=1.$$

   Итак, $$x=0,\,1,\,9.$$

2. б) $$|2x-x^2+3|=|x+3|.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$2x-x^2+3=x+3 \quad \Rightarrow \quad -x^2+x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-1)=0,$$
   откуда $$x=0$$ или $$x=1.$$

   $$2x-x^2+3=-(x+3) \quad \Rightarrow \quad -x^2+3x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-3x-6=0.$$

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=9+24=33,$$
   поэтому
   $$x=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}.$$

   Ответы: $$0,\,1,\,\frac{3-\sqrt{33}}{2},\,\frac{3+\sqrt{33}}{2}.$$

3. в) $$|x^2-6x+10|=|x+10|.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-6x+10=x+10 \quad \Rightarrow \quad x^2-7x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-7)=0,$$
   откуда $$x=0$$ или $$x=7.$$

   $$x^2-6x+10=-(x+10) \quad \Rightarrow \quad x^2-5x+20=0.$$

   $$D=25-80=-55<0,$$ значит, действительных корней нет.

   Итак, $$x=0,\,7.$$

4. г) $$|-x^2+4x-8|=2|-x|.$$

   Так как $$|-x|=|x|,$$ получаем:

   $$|-x^2+4x-8|=2|x|.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$-x^2+4x-8=2x \quad \Rightarrow \quad -x^2+2x-8=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-2x+8=0.$$

   $$D=4-32=-28<0,$$ значит, решений нет.

   $$-x^2+4x-8=-2x \quad \Rightarrow \quad -x^2+6x-8=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-6x+8=0.$$

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,$$
   откуда $$x=2$$ или $$x=4.$$

Ответ

а) $$0,\,1,\,9$$; б) $$0,\,1,\,\frac{3-\sqrt{33}}{2},\,\frac{3+\sqrt{33}}{2}$$; в) $$0,\,7$$; г) $$2,\,4$$.