Упр.29.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Подробный ответ

а) $$|\cos x|=\sin x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$\sin x\ge 0.$$ Тогда
$$ \cos x=\pm \sin x. $$
1) $$\cos x=\sin x \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
2) $$\cos x=-\sin x \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем
$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
б) $$|\cos 3x|=-\cos x$$
Правая часть неотрицательна, значит $$\cos x\le 0.$$ Тогда
$$ \cos 3x=\pm \cos x. $$
1) $$\cos 3x=-\cos x \Rightarrow \cos 3x+\cos x=0.$$
$$ 2\cos 2x\cos x=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$
С учётом $$\cos x\le 0$$ получаем
$$ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$
2) $$\cos 3x=\cos x \Rightarrow \cos 3x-\cos x=0.$$
$$ -2\sin 2x\sin x=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\pi n. $$
С учётом $$\cos x\le 0$$ остаётся
$$ x=\pi+2\pi n. $$
Итак,
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
в) $$|\sin 2x|=\cos x$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$\cos x\ge 0.$$ Тогда
$$ \sin 2x=\pm \cos x. $$
1) $$\sin 2x=\cos x \Rightarrow 2\sin x\cos x-\cos x=0,$$
$$ \cos x(2\sin x-1)=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n. $$
С учётом $$\cos x\ge 0$$ получаем
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n. $$
2) $$\sin 2x=-\cos x \Rightarrow 2\sin x\cos x+\cos x=0,$$
$$ \cos x(2\sin x+1)=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n-1}\frac{\pi}{6}+\pi n. $$
С учётом $$\cos x\ge 0$$ получаем
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n. $$
Итак,
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
г) $$|\sin 5x|=-\sin x$$
Правая часть неотрицательна, значит $$\sin x\le 0.$$ Тогда
$$ \sin 5x=\pm \sin x. $$
1) $$\sin 5x=-\sin x \Rightarrow \sin 5x+\sin x=0,$$
$$ 2\sin 3x\cos 2x=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$
С учётом $$\sin x\le 0$$ получаем
$$ x=\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$
2) $$\sin 5x=\sin x \Rightarrow \sin 5x-\sin x=0,$$
$$ 2\sin 2x\cos 3x=0. $$
Отсюда
$$ x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}. $$
С учётом $$\sin x\le 0$$ получаем
$$ x=\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n. $$
Итак,
$$ x=\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n;$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n;$$
в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\frac{\pi}{6}+2\pi n;$$
г) $$x=\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

3.7 / 5

Другие учебники

Мордкович 10-11 класс