Упр.29.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 29.10. a) |log2(x)| = log2(2x — 3); б) |log3 (3х — 2) + log3 (2х — 1)| = log3 (2х — 1); в) |log5 (х + 3)| = log5 (4х + 1); г) |log7 (2х — 7) — log7 (х — 11)| = log7 (х — 11).
а) $$|\log_2 x|=\log_2(2x-3)$$
Рассмотрим два случая:
$$\log_2 x=\log_2(2x-3)$$
$$x=2x-3$$
$$x=3$$$$\log_2 x=-\log_2(2x-3)$$
$$\log_2 x+\log_2(2x-3)=0$$
$$x(2x-3)=1$$
$$2x^2-3x-1=0$$
$$D=9+8=17$$
$$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$$Учитываем ОДЗ:
$$2x-3>0,\quad \log_2(2x-3)\ge 0$$
$$2x-3\ge 1$$
$$x\ge 2$$Из найденных корней подходит только $$x=3$$.
б) $$|\log_3(3x-2)+\log_3(2x-1)|=\log_3(2x-1)$$
Рассмотрим два случая:
$$\log_3(3x-2)+\log_3(2x-1)=\log_3(2x-1)$$
$$\log_3(3x-2)=0$$
$$3x-2=1$$
$$x=1$$$$\log_3(3x-2)+\log_3(2x-1)=-\log_3(2x-1)$$
$$\log_3(3x-2)+2\log_3(2x-1)=0$$
$$\log_3\bigl((3x-2)(2x-1)^2\bigr)=0$$
$$(3x-2)(2x-1)^2=1$$
$$12x^3-20x^2+11x-3=0$$
$$(x-1)(12x^2-8x+3)=0$$Квадратное уравнение действительных корней не имеет, значит из этого случая получаем только $$x=1$$.
ОДЗ: $$3x-2>0,\;2x-1>0 \Rightarrow x>\frac12$$, поэтому $$x=1$$ подходит.
в) $$|\log_5(x+3)|=\log_5(4x+1)$$
Рассмотрим два случая:
$$\log_5(x+3)=\log_5(4x+1)$$
$$x+3=4x+1$$
$$3x=2$$
$$x=\frac23$$$$\log_5(x+3)=-\log_5(4x+1)$$
$$\log_5(x+3)+\log_5(4x+1)=0$$
$$(x+3)(4x+1)=1$$
$$4x^2+13x+2=0$$
$$D=169-32=137$$
$$x=\frac{-13\pm\sqrt{137}}{8}$$ОДЗ: $$4x+1>0,\; \log_5(4x+1)\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$$. Из найденных корней подходит только $$x=\frac23$$.
г) $$|\log_7(2x-7)-\log_7(x-11)|=\log_7(x-11)$$
Рассмотрим два случая:
$$\log_7(2x-7)-\log_7(x-11)=\log_7(x-11)$$
$$\log_7(2x-7)=\log_7(x-11)^2$$
$$2x-7=(x-11)^2$$
$$x^2-24x+128=0$$
$$D=64$$
$$x_1=8,\;x_2=16$$$$\log_7(2x-7)-\log_7(x-11)=-\log_7(x-11)$$
$$\log_7(2x-7)=0$$
$$2x-7=1$$
$$x=4$$ОДЗ: $$x-11>0,\; \log_7(x-11)\ge 0 \Rightarrow x\ge 12$$. Из найденных значений подходит только $$x=16$$.
Ответ
а) $$3$$; б) $$1$$; в) $$\frac23$$; г) $$16$$.
