Упр.28.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.15 а)2(корень (x+4)) больше или равно 1/2 корень 128. б)0,5(sinx+корень 3/2) меньше или равно 1.
а) $$2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128}$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{1}{2}\sqrt{128}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}=2^{\frac{5}{2}}.$$
Тогда
$$2^{\sqrt{x+4}} \ge 2^{\frac{5}{2}}.$$
Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:
$$\sqrt{x+4}\ge \frac{5}{2}.$$
Возводим в квадрат:
$$x+4\ge \frac{25}{4},$$
$$x\ge \frac{9}{4}.$$
С учётом области определения $$x+4\ge 0$$ получаем тот же результат.
б) $$0{,}5^{\sin x+\frac{\sqrt3}{2}}\le 1.$$
Так как $$0<0{,}5<1$$, то неравенство равносильно:
$$\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\ge 0,$$
$$\sin x\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$
Решаем на окружности:
$$x\in \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x\in \left[\frac{9}{4};+\infty\right);$$ б) $$x\in \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in \mathbb{Z}.$$
