Упр.28.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.14. a) log 1/пи (2х2 — 5х) больше или равно log 1/пи (2х — 3); б) lg(5×2 — 15x) < lg(2x - 6).

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3).$$
Так как основание $$\frac{1}{\pi}$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, логарифмическая функция убывает, поэтому получаем систему:
$$ \begin{cases} 2x^2-5x \le 2x-3,\\ 2x^2-5x > 0,\\ 2x-3 > 0. \end{cases} $$
Решим первое неравенство:
$$ 2x^2-5x-2x+3 \le 0 $$
$$ 2x^2-7x+3 \le 0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D=49-24=25, $$
$$ x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}, \quad x_1=\frac12,\; x_2=3. $$
Тогда
$$ \left(x-\frac12\right)(x-3)\le 0, $$
откуда
$$ \frac12 \le x \le 3. $$
Второе неравенство:
$$ 2x^2-5x=x(2x-5)>0, $$
значит
$$ x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac52. $$
Третье неравенство:
$$ 2x-3>0 \quad \Rightarrow \quad x>\frac32. $$
Пересекаем все условия:
$$ \left[\frac12,3\right]\cap \left(\frac52,+\infty\right)\cap \left(\frac32,+\infty\right)=\left(\frac52,3\right]. $$
б) Рассмотрим неравенство
$$\lg(5x^2-15x)\le \lg(2x-6).$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем систему:
$$ \begin{cases} 5x^2-15x \le 2x-6,\\ 5x^2-15x > 0,\\ 2x-6 > 0. \end{cases} $$
Решим первое неравенство:
$$ 5x^2-17x+6 \le 0. $$
Найдём корни:
$$ D=289-120=169, $$
$$ x_{1,2}=\frac{17\pm 13}{10}, \quad x_1=\frac25,\; x_2=3. $$
Тогда
$$ \left(x-\frac25\right)(x-3)\le 0, $$
откуда
$$ \frac25 \le x \le 3. $$
Второе неравенство:
$$ 5x^2-15x=5x(x-3)>0, $$
значит
$$ x<0 \quad \text{или} \quad x>3. $$
Третье неравенство:
$$ 2x-6>0 \quad \Rightarrow \quad x>3. $$
Пересечение условий пусто:
$$ \left[\frac25,3\right]\cap (3,+\infty)=\varnothing. $$