Упр.28.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим систему неравенств:

$$x+3^x-2a-9^a<0,$$

$$\frac{x-3a-1}{x-5a+3}<0.$$

1) Первое неравенство преобразуем:

$$x+3^x<2a+9^a=2a+3^{2a}.$$

Функция $$f(x)=x+3^x$$ возрастает, так как

$$f'(x)=1+3^x\ln 3>0.$$

Значит, из неравенства $$f(x)<f(2a)$$ получаем

$$x<2a.$$

2) Второе неравенство:

$$\frac{x-3a-1}{x-5a+3}<0.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Критические точки:

$$x=3a+1,\qquad x=5a-3.$$

Сравним их:

$$3a+1<5a-3 \iff a>2.$$

Случай 1: $$a>2.$$ Тогда

$$3a+1<x<5a-3.$$

Но из первого неравенства нужно $$x<2a,$$ а при $$a>2$$ имеем

$$2a<3a+1,$$

поэтому общих решений нет.

Случай 2: $$a<2.$$ Тогда

$$5a-3<x<3a+1.$$

Чтобы ни одно решение первого неравенства не было решением второго, нужно, чтобы все $$x<2a$$ не попадали в этот промежуток. Это возможно только при

$$2a\le 5a-3,$$

откуда

$$a\ge 1.$$

Совмещая с условием $$a<2,$$ получаем

$$1\le a<2.$$

При $$a=2$$ имеем

$$\frac{x-7}{x-7}<0,$$

что невозможно, а первое неравенство даёт $$x<4$$, значит условие также выполняется.

Итак, подходящие значения параметра:

$$a\in[1;+\infty).$$

Ответ

$$a\in[1;+\infty).$$