Упр.28.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.58 а)(x2+8x+15)log0,5(1+cos2(Пиx/4)больше или равно 1; б)(10x — x2-24)log5(4sin2(Пиx/2) + 1) больше или равно 1.

а) Рассмотрим множители:

$$x^2+8x+15=(x+4)^2-1\ge -1,$$
$$1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\in[1,2].$$

Так как основание логарифма $$0{,}5<1,$$ то

$$\log_{0{,}5}\!\left(1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\right)\in[-1,0].$$

Следовательно, произведение двух множителей не меньше 1 только в случае, когда оба они равны $$-1$$:

$$ \begin{cases} x^2+8x+15=-1,\\ \log_{0{,}5}\!\left(1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\right)=-1. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$x^2+8x+16=0,$$
$$\left(x+4\right)^2=0,$$
$$x=-4.$$

Проверим второе уравнение:

$$\log_{0{,}5}\!\left(1+\cos^2\frac{\pi(-4)}{4}\right)=\log_{0{,}5}(1+\cos^2\pi)=\log_{0{,}5}2=-1.$$

Значит, $$x=-4$$ подходит.

б) Рассмотрим множители:

$$10x-x^2-24=1-(x-5)^2\le 1,$$
$$1+4\sin^2\frac{\pi x}{2}\in[1,5].$$

Так как основание логарифма $$5>1,$$ то

$$\log_5\!\left(1+4\sin^2\frac{\pi x}{2}\right)\in[0,1].$$

Следовательно, произведение не меньше 1 только при одновременном выполнении равенств:

$$ \begin{cases} 10x-x^2-24=1,\\ \log_5\!\left(1+4\sin^2\frac{\pi x}{2}\right)=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$10x-x^2-24=1,$$
$$x^2-10x+25=0,$$
$$\left(x-5\right)^2=0,$$
$$x=5.$$

Проверим второе уравнение:

$$\log_5\!\left(1+4\sin^2\frac{5\pi}{2}\right)=\log_5(1+4\cdot 1)=\log_5 5=1.$$

Значит, $$x=5$$ подходит.

Ответ

а) $$-4$$; б) $$5$$.