Упр.28.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.57 а)((x2+x+1)2+2(x3+x2+x)-3×2)/(10×2-17x+6) больше или равно 0. б)((x2-x-1)2-2(x3-x2-x)-3×2)/(10×4-43×3 — 9×2) меньше или равно 0.

а) Обозначим числитель через $$N(x).$$ Тогда

$$ N(x)=(x^2+x+1)^2+2(x^3+x^2+x)-3x^2. $$

Раскроем скобки и упростим:

$$ \begin{aligned} N(x)&=x^4+2x^3+3x^2+2x+1+2x^3+2x^2+2x-3x^2\\ &=x^4+4x^3+2x^2+4x+1\\ &=(x^2+1)(x^2+4x+1). \end{aligned} $$

Тогда неравенство принимает вид

$$ \frac{(x^2+1)(x^2+4x+1)}{10x^2-17x-6}\ge 0. $$

Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ достаточно рассмотреть знак выражения

$$ \frac{x^2+4x+1}{10x^2-17x-6}\ge 0. $$

Найдём нули числителя и знаменателя:

$$ x^2+4x+1=0 \;\Rightarrow\; x=-2\pm\sqrt3, $$

$$ 10x^2-17x-6=0 \;\Rightarrow\; x=-\frac{3}{10},\; x=2. $$

По методу интервалов получаем

$$ x\in(-\infty;\,-2-\sqrt3]\cup\left(-\frac{3}{10};\,-2+\sqrt3\right]\cup(2;\,+\infty). $$

б) Обозначим числитель через $$M(x).$$ Тогда

$$ M(x)=(x^2-x-1)^2-2(x^3-x^2-x)-3x^2. $$

Упростим:

$$ \begin{aligned} M(x)&=x^4-2x^3-x^2+2x+1-2x^3+2x^2+2x-3x^2\\ &=x^4-4x^3-2x^2+4x+1\\ &=(x^2-1)(x^2-4x-1). \end{aligned} $$

Тогда

$$ \frac{(x^2-1)(x^2-4x-1)}{10x^4-43x^3-9x^2}\le 0. $$

Разложим знаменатель:

$$ 10x^4-43x^3-9x^2=x^2(10x^2-43x-9)=x^2(10x+2)(x-4.5). $$

Нули числителя и знаменателя:

$$ x^2-1=0 \Rightarrow x=-1,\;1, $$

$$ x^2-4x-1=0 \Rightarrow x=2\pm\sqrt5, $$

$$ x^2(10x^2-43x-9)=0 \Rightarrow x=0,\; -\frac{1}{5},\; \frac{9}{2}. $$

С учётом знаков множителей методом интервалов получаем

$$ x\in[-1;\,2-\sqrt5]\cup\left(-\frac15;\,0\right)\cup(0;\,1]\cup[2+\sqrt5;\,\frac92). $$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;\,-2-\sqrt3]\cup\left(-\frac{3}{10};\,-2+\sqrt3\right]\cup(2;\,+\infty).$$

б) $$x\in[-1;\,2-\sqrt5]\cup\left(-\frac15;\,0\right)\cup(0;\,1]\cup[2+\sqrt5;\,\frac92).$$