Упр.28.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 28.56 а)корень 4-log0,5(x) < корень log2(x) - 1 + корень 6-log8(x3); б)корень log корень 3 корень x меньше или равно корень log3(243x) - корень log1/3(27/x).

а) Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$\sqrt{y+4}<\sqrt{y-1}+\sqrt{6-y}.$$

Перенесём один корень влево и возведём в квадрат:

$$y+4<y-1+6-y+2\sqrt{(y-1)(6-y)}.$$

$$y-1<2\sqrt{(y-1)(6-y)}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(y-1\right)^2<4(y-1)(6-y).$$

$$y^2-2y+1<24y-4y^2-24y+24?$$

Упростим аккуратно:

$$y^2-2y+1<24y-4y^2-24?$$

Корректнее сразу раскрыть скобки:

$$y^2-2y+1<4(6y-y^2-y+? )$$

Удобнее решить через замену по готовому преобразованию:

$$5y^2-30y+25<0,$$

$$y^2-6y+5<0,$$

$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)<0,$$

откуда

$$1<y<5.$$

Теперь учтём область определения:

$$y+4\ge 0,\quad y-1\ge 0,\quad 6-y\ge 0,$$

то есть

$$1\le y\le 6.$$

Пересечение даёт

$$1<y<5.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$1<\log_2 x<5,$$

$$2<x<32.$$

б) Обозначим $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$\sqrt{\log_{\sqrt3}\sqrt x}\le \sqrt{\log_3 243x}-\sqrt{\log_{1/3}\frac{27}{x}}$$

преобразуется к виду

$$\sqrt{y}\le \sqrt{y+5}-\sqrt{y-3}.$$

Перенесём корень:

$$\sqrt{y}+\sqrt{y-3}\le \sqrt{y+5}.$$

Возведём в квадрат:

$$y+y-3+2\sqrt{y(y-3)}\le y+5,$$

$$2\sqrt{y(y-3)}\le 8-y.$$

С учётом ОДЗ имеем $$y\ge 3$$ и $$8-y\ge 0,$$ то есть $$3\le y\le 8.$$

Ещё раз возведём в квадрат:

$$4y(y-3)\le (8-y)^2,$$

$$4y^2-12y\le y^2-16y+64,$$

$$3y^2+4y-64\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 64=784,$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 28}{6},$$

откуда

$$y_1=-\frac{16}{3},\quad y_2=4.$$

Следовательно,

$$-\frac{16}{3}\le y\le 4.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$3\le y\le 4.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$3\le \log_3 x\le 4,$$

$$27\le x\le 81.$$

Ответ

а) $$x\in(2;32)$$; б) $$x\in[27;81]$$.