Упр.28.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.55 а)6log3|x-1| меньше или равно 14+2x-x2; б)log2(x2+x-10) > 25-2x-2×2.

а) Преобразуем неравенство:

$$6\log_3|x-1|\le 14+2x-x^2$$

$$3\log_3(x-1)^2\le 15-(x-1)^2$$

Введём замену:

$$t=(x-1)^2,\quad t>0.$$

Тогда получаем:

$$3\log_3 t\le 15-t.$$

Рассмотрим функции $$y=3\log_3 t$$ и $$y=15-t$$ при $$t>0$$. Первая возрастает, вторая убывает. Найдём точку их пересечения:

$$t=9:\quad 3\log_3 9=3\cdot 2=6,\qquad 15-9=6.$$

Значит, неравенство выполняется при

$$0<t\le 9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$0<(x-1)^2\le 9.$$

Отсюда

$$|x-1|\le 3,\quad x\ne 1.$$

Получаем:

$$-3\le x-1\le 3,$$

$$-2\le x\le 4,$$

и с учётом условия $$x\ne 1$$:

$$x\in[-2;1)\cup(1;4].$$

б) Преобразуем неравенство:

$$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2.$$

Введём замену:

$$t=x^2+x-10.$$

Тогда

$$25-2x-2x^2=5-2(x^2+x-10)=5-2t,$$

и неравенство принимает вид

$$\log_2 t>5-2t.$$

Область определения:

$$t>0.$$

Функция $$y=\log_2 t$$ возрастает, а $$y=5-2t$$ убывает при $$t>0$$. Найдём точку пересечения:

$$t=2:\quad \log_2 2=1,\qquad 5-2\cdot 2=1.$$

Следовательно, решение по $$t$$:

$$t>2.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$x^2+x-10>2,$$

$$x^2+x-12>0,$$

$$ (x+4)(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ

а) $$x\in[-2;1)\cup(1;4]$$; б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty).$$