Упр.28.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.54 а)корень sinx-1 меньше или равно 4-x2; б)корень cosx-1 больше или равно x2-49.

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\sin x-1}\le 4-x^2.$$

Чтобы левая часть имела смысл, нужно:

$$\sin x-1\ge 0,$$

то есть

$$\sin x\ge 1.$$

Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только

$$\sin x=1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этом левая часть равна нулю, значит должно выполняться

$$0\le 4-x^2,$$

то есть

$$x^2\le 4,\quad -2\le x\le 2.$$

Из всех значений $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ этому отрезку принадлежит только

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\cos x-1}\ge x^2-49.$$

Область определения задаётся условием

$$\cos x-1\ge 0,$$

то есть

$$\cos x\ge 1.$$

Так как $$\cos x\le 1,$$ то возможно только

$$\cos x=1,$$

откуда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этом левая часть равна нулю, значит нужно, чтобы

$$0\ge x^2-49,$$

то есть

$$x^2\le 49,\quad -7\le x\le 7.$$

Из чисел вида $$x=2\pi n$$ этому отрезку принадлежат

$$x=-2\pi,\ 0,\ 2\pi.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x\in\{-2\pi,\,0,\,2\pi\}.$$