Упр.28.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.53 (x2-x+1)^((x-11)/(x+4)) меньше или равно (x2-x+1)3.

Рассмотрим основание степени:

$$x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>1?$$

На самом деле

$$x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge \frac34>0,$$

поэтому выражение определено при всех $$x\ne 4.$$

Так как функция $$y=a^t$$ при $$a>1$$ возрастает, сравним основания и показатели в зависимости от значения $$x^2-x+1$$.

Заметим, что

$$x^2-x+1\ge 1 \iff x^2-x\ge 0 \iff x(x-1)\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 1,$$

а также

$$0<x^2-x+1\le 1 \iff 0<x<1.$$

Тогда исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

$$ \begin{cases} x^2-x+1\ge 1,\\ \dfrac{x-11}{x-4}\le 3 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 0<x^2-x+1\le 1,\\ \dfrac{x-11}{x-4}\ge 3 \end{cases} $$

1) Решим первую систему:

$$ \dfrac{x-11}{x-4}\le 3 \iff \dfrac{x-11-3x+12}{x-4}\le 0 \iff \dfrac{-2x+1}{x-4}\le 0 \iff \dfrac{2x-1}{x-4}\ge 0. $$

Отсюда

$$x\in \left(-\infty;\frac12\right]\cup(4;+\infty).$$

С учётом условия $$x\le 0$$ или $$x\ge 1$$ получаем:

$$x\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)\cap\left(\left(-\infty;\frac12\right]\cup(4;+\infty)\right)=(-\infty;0]\cup(4;+\infty).$$

2) Решим вторую систему:

$$ \dfrac{x-11}{x-4}\ge 3 \iff \dfrac{-2x+1}{x-4}\ge 0 \iff \dfrac{2x-1}{x-4}\le 0. $$

Отсюда

$$x\in\left[\frac12;4\right).$$

С учётом условия $$0<x<1$$ получаем:

$$x\in\left(\frac12;1\right).$$

Точка $$x=\frac12$$ подходит, так как при ней основание равно $$1$$, а показатель равен $$3$$, и неравенство выполняется как равенство.

Итак, объединяя все найденные промежутки, получаем:

$$x\in(-\infty;0]\cup\left[\frac12;1\right]\cup(4;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;0]\cup\left[\frac12;1\right]\cup(4;+\infty).$$