Упр.28.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.52 log8log9log(7x+6)((7x+6)9+x2-x-56) > 0

Пусть

$$A=(7x+6)^9+x^2-x-56.$$

Тогда данное неравенство имеет вид

$$\log_8\log_9\log_{7x+6}A>0.$$

Так как $$8>1,$$ то

$$\log_9\log_{7x+6}A>1.$$

Так как $$9>1,$$ получаем

$$\log_{7x+6}A>9.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$7x+6>1.$$

Тогда

$$A>(7x+6)^9,$$

то есть

$$x^2-x-56>0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$x^2-x-56=(x-8)(x+7).$$

Отсюда

$$x<-7 \quad \text{или} \quad x>8.$$

С учётом условия $$7x+6>1,$$ то есть $$x>-\frac67,$$ остаётся

$$x>8.$$

2) $$0<7x+6<1.$$

Тогда основание логарифма лежит между $$0$$ и $$1,$$ поэтому знак неравенства меняется:

$$A<(7x+6)^9.$$

Но при $$0<7x+6<1$$ имеем $$0<(7x+6)^9<1,$$ а также $$0<x^2<1.$$ Следовательно,

$$A=(7x+6)^9+x^2-x-56<0,$$

что противоречит условию существования логарифма $$\log_{7x+6}A.$$ Значит, этот случай решений не даёт.

Итак, единственное решение:

$$x>8.$$

Ответ

$$x\in(8;+\infty).$$