Упр.28.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.51 (12×3 — 16×2-7x+6)(log1/3(4-2x)+log3(x+2)) > 0.

Рассмотрим неравенство

$$\left(12x^3-16x^2-7x+6\right)\left(\log_{\frac13}(4-2x)+\log_3(x+2)\right)>0.$$

1) Разложим на множители первый многочлен:

$$12x^3-16x^2-7x+6=0.$$

Проверим целые корни. Подходит $$x=\frac12$$:

$$12\cdot\left(\frac12\right)^3-16\cdot\left(\frac12\right)^2-7\cdot\frac12+6=0.$$

Тогда

$$12x^3-16x^2-7x+6=(2x-1)(6x^2-5x-6).$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$6x^2-5x-6=(2x-3)(3x+2).$$

Значит,

$$12x^3-16x^2-7x+6=(2x-1)(2x-3)(3x+2).$$

2) Рассмотрим логарифмическое выражение:

$$\log_{\frac13}(4-2x)+\log_3(x+2).$$

Так как $$\log_{\frac13}a=-\log_3 a,$$ получаем

$$\log_3(x+2)-\log_3(4-2x)=\log_3\frac{x+2}{4-2x}.$$

Найдём, когда оно положительно:

$$\log_3\frac{x+2}{4-2x}>0 \iff \frac{x+2}{4-2x}>1.$$

При $$4-2x>0$$ имеем

$$x+2>4-2x,$$

$$3x>2,$$

$$x>\frac23.$$

С учётом области определения логарифмов:

$$4-2x>0,\quad x+2>0,$$

то есть

$$-2<x<2.$$

Следовательно,

$$\log_{\frac13}(4-2x)+\log_3(x+2)>0 \iff \frac23<x<2.$$

3) Тогда исходное неравенство равносильно системе знаков:

$$\begin{cases} (2x-1)(2x-3)(3x+2)\cdot\left(x-\frac23\right)>0,\\ -2<x<2. \end{cases}$$

Критические точки: $$-2,\,-\frac23,\,\frac12,\,\frac23,\,\frac32,\,2.$$

По методу интервалов получаем:

$$x\in\left(-2,-\frac23\right)\cup\left(\frac12,\frac23\right)\cup\left(\frac32,2\right).$$

Ответ

$$x\in\left(-2,-\frac23\right)\cup\left(\frac12,\frac23\right)\cup\left(\frac32,2\right).$$