Упр.28.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.50 log(x+2)((x2-4x+1)) > log(3x/5)/(x-6)(1).

Рассмотрим неравенство

$$\log_{x+2}(x^2-4x+1)>\log_{\frac{3x-5}{x-6}}1.$$

Так как $$\log_a 1=0$$ при любом допустимом основании $$a$$, то неравенство равносильно системе условий:

$$ \begin{cases} \dfrac{3x-5}{x-6}>0,\\ \dfrac{3x-5}{x-6}\ne 1,\\ x+2>0,\\ x+2\ne 1,\\ x^2-4x+1>0,\\ x^2-4x+1>1. \end{cases} $$

Из условий на основание первого логарифма получаем:

$$0<x+2<1,$$

откуда

$$-2<x<-1.$$

Теперь учтём условие

$$x^2-4x+1>1.$$

Тогда

$$x^2-4x>0,$$

$$x(x-4)>0,$$

то есть

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>4.$$

Пересекаем это с $$-2<x<-1$$ и получаем, что при $$-2<x<-1$$ условие выполняется автоматически.

Осталось проверить область допустимых значений для основания второго логарифма:

$$\frac{3x-5}{x-6}>0,$$

$$\frac{3x-5}{x-6}\ne 1.$$

Решим первое неравенство:

$$\frac{3x-5}{x-6}>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<\frac53 \;\text{или}\; x>6.$$

Из условия $$\frac{3x-5}{x-6}\ne 1$$ имеем:

$$\frac{3x-5}{x-6}=1 \;\Longrightarrow\; 3x-5=x-6 \;\Longrightarrow\; 2x=-1 \;\Longrightarrow\; x=-\frac12.$$

Но число $$-\frac12$$ не входит в промежуток $$-2<x<-1$$.

Следовательно, все условия выполняются при

$$-2<x<-1.$$

Однако нужно ещё учесть, что при $$-2<x<-1$$ основание $$x+2$$ лежит в интервале $$0<x+2<1$$, а аргумент $$x^2-4x+1$$ должен быть больше 1. Это даёт

$$x^2-4x+1>1 \Longrightarrow x<0 \text{ или } x>4,$$

что совместимо с $$-2<x<-1$$.

Итак, с учётом всех ограничений получаем

$$x\in\left(-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(6;+\infty).$$

Ответ

$$x\in\left(-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(6;+\infty).$$