Упр.28.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.49 а)logx(21-4x) > 2; б)log(2x-3)((x2 — 10x + 9)) меньше или равно 2.

Подробный ответ

а) $$\log_x(21-4x)>2$$
Для логарифма нужны условия:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 21-4x>0.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$0<x<1,$$ то знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$21-4x<x^2.$$
$$x^2+4x-21>0$$
$$ (x+7)(x-3)>0.$$
Отсюда $$x<-7$$ или $$x>3,$$ но при $$0<x<1$$ решений нет.
2) Если $$x>1,$$ то знак неравенства сохраняется:
$$21-4x>x^2.$$
$$x^2+4x-21<0$$
$$ (x+7)(x-3)<0,$$
откуда $$-7<x<3.$$
С учётом $$x>1$$ и $$21-4x>0$$ получаем:
$$1<x<3.$$
б) $$\log_{2x-3}(x^2-10x+9)\le 2$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad 2x-3\ne 1,\quad x^2-10x+9>0.$$
То есть
$$x>\frac32,\quad x\ne 2,\quad (x-1)(x-9)>0.$$
Так как основание логарифма зависит от $x$, рассмотрим два случая.
1) Если $$\frac32<x<2,$$ то $$0<2x-3<1,$$ и знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$x^2-10x+9\ge (2x-3)^2.$$
$$x^2-10x+9\ge 4x^2-12x+9$$
$$3x^2-2x\le 0$$
$$x(3x-2)\le 0.$$
С учётом $$x>\frac32$$ решений нет.
2) Если $$x>2,$$ то $$2x-3>1,$$ и знак неравенства сохраняется:
$$x^2-10x+9\le (2x-3)^2.$$
$$x^2-10x+9\le 4x^2-12x+9$$
$$3x^2-2x\ge 0$$
$$x(3x-2)\ge 0.$$
При $$x>2$$ это верно, а из области определения остаётся ещё условие $$x^2-10x+9>0,$$ то есть $$x>9$$ или $$x<1.$$
С учётом $$x>2$$ получаем:
$$x>9.$$