Упр.28.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.47 а)lg(0,2x-5) < log 0,1(95-3*0,2x)^-1; б)log0,1(3 корень (3x+1) - 2) > 0,25*log0,1 (корень 3x+1)lg(0,1^-8).

а) Рассмотрим неравенство

$$\lg(0,2^x-5)<\log_{0,1}(95-3\cdot 0,2^x)^{-1}.$$

Так как $$\log_{0,1}A=-\lg A,$$ то

$$\lg(0,2^x-5)<\lg(95-3\cdot 0,2^x).$$

При основании $$10>1$$ получаем

$$0,2^x-5<95-3\cdot 0,2^x.$$

$$4\cdot 0,2^x<100,$$

$$0,2^x<25,$$

$$5^{-x}<5^2,$$

$$-x<2,$$

$$x>-2.$$

Найдём область определения:

$$0,2^x-5>0,$$

$$0,2^x>5,$$

$$5^{-x}>5^1,$$

$$-x>1,$$

$$x<-1.$$

Пересекаем условия:

$$x\in(-2;-1).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1}-2)>0,25\cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1}\cdot \lg(0,1^{-8}).$$

Так как

$$\lg(0,1^{-8})=8,$$

то

$$0,25\cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1}\cdot \lg(0,1^{-8})=2\log_{0,1}\sqrt{3x+1}.$$

Тогда

$$\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1}-2)>2\log_{0,1}\sqrt{3x+1}.$$

Преобразуем правую часть:

$$2\log_{0,1}\sqrt{3x+1}=\log_{0,1}(3x+1).$$

Получаем

$$\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1}-2)>\log_{0,1}(3x+1).$$

Так как основание $$0,1<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$3\sqrt{3x+1}-2<3x+1.$$

Обозначим $$t=\sqrt{3x+1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$3t-2<t^2,$$

$$t^2-3t+2>0,$$

$$ (t-1)(t-2)>0.$$

Отсюда

$$t<1 \quad \text{или} \quad t>2.$$

Возвращаясь к $$t=\sqrt{3x+1},$$ получаем:

$$\sqrt{3x+1}<1 \Rightarrow 3x+1<1 \Rightarrow x<0,$$

$$\sqrt{3x+1}>2 \Rightarrow 3x+1>4 \Rightarrow x>1.$$

Теперь учтём область определения:

$$3x+1>0 \Rightarrow x>-\frac13,$$

$$3\sqrt{3x+1}-2>0 \Rightarrow \sqrt{3x+1}>\frac23 \Rightarrow 3x+1>\frac49 \Rightarrow x>-\frac{5}{27}.$$

Итак, с учётом ОДЗ:

$$x\in\left(-\frac{5}{27};0\right)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-2;-1);$$ б) $$x\in\left(-\frac{5}{27};0\right)\cup(1;+\infty).$$