Упр.28.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$\left(\sin^2 x+1\right)\left(\lg(2x-3)-2\right)\le 0$$
Так как $$\sin^2 x+1>0$$ при любых $$x$$, то достаточно решить неравенство
$$\lg(2x-3)-2\le 0.$$
С учётом области определения $$2x-3>0$$ получаем:
$$\lg(2x-3)\le 2$$
$$2x-3\le 10^2=100$$
$$2x\le 103$$
$$x\le 51{,}5.$$
Совмещая с ОДЗ $$x>\frac{3}{2}$$, получаем
$$x\in\left(\frac{3}{2};\,51{,}5\right].$$
б) $$\left(\sqrt{6x-1}+5\right)\left(5^{x^2-1}-0{,}2\right)>0$$
Первый множитель положителен при всех допустимых $$x$$, так как
$$\sqrt{6x-1}\ge 0,\qquad \sqrt{6x-1}+5>0.$$
Тогда нужно решить
$$5^{x^2-1}-0{,}2>0.$$
Так как $$0{,}2=5^{-1}$$, имеем
$$5^{x^2-1}>5^{-1}$$
$$x^2-1>-1$$
$$x^2>0,$$
то есть $$x\ne 0.$$
С учётом области определения
$$6x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac16,$$
получаем ответ:
$$x\in\left[\frac16;\,+\infty\right).$$
в) $$\cos x\cdot \left(2^{x+3}+3^{x-7}\right)\ge 0$$
Второй множитель положителен при любых $$x$$, так как
$$2^{x+3}>0,\qquad 3^{x-7}>0,$$
значит
$$2^{x+3}+3^{x-7}>0.$$
Тогда неравенство равносильно
$$\cos x\ge 0.$$
Отсюда
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\left(2-\sqrt{3x+1}\right)\left(\log^2_{0{,}5}(3x-6)+2\right)<0$$
Второй множитель положителен, так как
$$\log^2_{0{,}5}(3x-6)\ge 0,\qquad \log^2_{0{,}5}(3x-6)+2>0.$$
Значит, нужно решить
$$2-\sqrt{3x+1}<0,$$
то есть
$$\sqrt{3x+1}>2$$
$$3x+1>4$$
$$3x>3$$
$$x>1.$$
Учитываем область определения:
$$3x-6>0,\qquad x>2.$$
Итог:
$$x\in(2;\,+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in\left(\frac{3}{2};\,51{,}5\right]$$; б) $$x\in\left[\frac16;\,+\infty\right)$$; в) $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x\in(2;\,+\infty)$$.
