Упр.28.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 28.44 а)(корень 2x+4)/2(x-3) больше или равно (корень 2x+4)/7(x+3); б)(корень 7+6x)/0,2(x+1) меньше или равно (корень 7+6x)/0,3(x+1)
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{2x+4}}{2^{x-3}} \ge \frac{\sqrt{2x+4}}{7^{x-3}}.$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\sqrt{2x+4}\left(\frac{1}{2^{x-3}}-\frac{1}{7^{x-3}}\right)\ge 0.$$
Область определения:
$$2x+4\ge 0,\quad x\ge -2.$$
Рассмотрим множитель
$$\frac{1}{2^{x-3}}-\frac{1}{7^{x-3}}.$$
Он равен нулю при
$$2^{x-3}=7^{x-3}\;\Rightarrow\; x-3=0,\quad x=3.$$
При $$x>3$$ имеем $$2^{x-3}<7^{x-3}$$, значит
$$\frac{1}{2^{x-3}}-\frac{1}{7^{x-3}}>0.$$
При $$-2\le x<3$$ этот множитель отрицателен, поэтому неравенство выполняется только при $$\sqrt{2x+4}=0$$, то есть при $$x=-2$$.
Следовательно,
$$x\in\{-2\}\cup[3;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{7+6x}}{0{,}2^{x+1}}\le \frac{\sqrt{7+6x}}{0{,}3^{x+1}}.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt{7+6x}\left(\frac{1}{0{,}2^{x+1}}-\frac{1}{0{,}3^{x+1}}\right)\le 0.$$
Область определения:
$$7+6x\ge 0,\quad x\ge -\frac{7}{6}.$$
Рассмотрим множитель
$$\frac{1}{0{,}2^{x+1}}-\frac{1}{0{,}3^{x+1}}.$$
Он равен нулю при
$$0{,}2^{x+1}=0{,}3^{x+1}\;\Rightarrow\; x+1=0,\quad x=-1.$$
При $$x>-1$$ имеем $$0{,}2^{x+1}<0{,}3^{x+1}$$, значит
$$\frac{1}{0{,}2^{x+1}}-\frac{1}{0{,}3^{x+1}}>0.$$
При $$-\frac{7}{6}\le x<-1$$ этот множитель отрицателен, поэтому неравенство выполняется при любом таком $$x$$. Точка $$x=-1$$ тоже подходит, так как левая и правая части равны.
Итак,
$$x\in\left[-\frac{7}{6};-1\right].$$
Ответ
а) $$x\in\{-2\}\cup[3;+\infty)$$; б) $$x\in\left[-\frac{7}{6};-1\right]$$.
