Упр.28.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.43 а)(x2-2x)(tg2(x) + 2(x+1)) меньше или равно 0; б)(x2+4x)(ctg2(x) + 3(x-1)) меньше или равно 0.

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2-2x\right)\left(\tg^2 x+2^{x+1}\right)\le 0.$$

Второй множитель неотрицателен при всех допустимых значениях $x$, а именно

$$\tg^2 x\ge 0,\qquad 2^{x+1}>0,$$

значит

$$\tg^2 x+2^{x+1}>0.$$

Тогда знак произведения определяется первым множителем, и нужно решить

$$x^2-2x\le 0,$$

$$x(x-2)\le 0,$$

откуда

$$0\le x\le 2.$$

Но выражение имеет смысл только при

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $[0;2]$ исключаем точку $x=\frac{\pi}{2}$.

Следовательно,

$$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};2\right].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2+4x\right)\left(\ctg^2 x+3^{x-1}\right)\le 0.$$

Второй множитель положителен при всех допустимых значениях $x$, так как

$$\ctg^2 x\ge 0,\qquad 3^{x-1}>0,$$

значит

$$\ctg^2 x+3^{x-1}>0.$$

Тогда достаточно решить

$$x^2+4x\le 0,$$

$$x(x+4)\le 0,$$

откуда

$$-4\le x\le 0.$$

Область определения:

$$x\ne \pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $[-4;0]$ исключаем точки $x=-\pi$ и $x=0$.

Итак,

$$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$

Ответ

а) $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};2\right].$$

б) $$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$