Упр.28.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.41 а)корень x log2(x2-8) > 0; б)3(x2-19) корень x2-4 < 0; в)корень -x log1/8(100-x2) < 0; г)2((x2-5) - 0,5) log6(4x+1) > 0.

1. $$\sqrt{x}\cdot \log_2(x^2-8)>0$$

   Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны быть одного знака и при этом выражения должны быть определены.

   1) $$\sqrt{x}>0 \Rightarrow x>0.$$

   2) $$\log_2(x^2-8)>0 \Rightarrow x^2-8>1 \Rightarrow x^2>9 \Rightarrow x<-3 \text{ или } x>3.$$

   С учётом $$x>0$$ получаем $$x>3.$$

   Проверим область определения:

   $$x\ge 0,\quad x^2-8>0 \Rightarrow x<-2\sqrt2 \text{ или } x>2\sqrt2.$$

   Пересечение с $$x>3$$ даёт:

   $$x\in(3;+\infty).$$

2. $$3^{x^2-19}\sqrt{x^2-4}<0$$

   Так как $$3^{x^2-19}>0$$ при любых $$x$$, то знак произведения определяется только корнем.

   Но $$\sqrt{x^2-4}\ge 0$$, значит произведение не может быть отрицательным.

   Решений нет.

3. $$\sqrt{-x}\cdot \log_{1/8}(100-x^2)<0$$

   Чтобы произведение было отрицательным, один множитель должен быть положительным, а другой — отрицательным.

   1) $$\sqrt{-x}>0 \Rightarrow x<0.$$

   2) $$\log_{1/8}(100-x^2)>0.$$

   Так как основание $$\frac18<1$$, то

   $$\log_{1/8}(100-x^2)>0 \Rightarrow 0<100-x^2<1.$$

   Из неравенства $$100-x^2<1$$ получаем

   $$x^2>99 \Rightarrow x<-3\sqrt{11} \text{ или } x>3\sqrt{11}.$$

   С учётом $$x<0$$ остаётся

   $$x<-3\sqrt{11}.$$

   Проверим область определения:

   $$-x\ge 0 \Rightarrow x\le 0,$$

   $$100-x^2>0 \Rightarrow -10<x<10.$$

   Итак,

   $$x\in(-10;-3\sqrt{11}).$$

4. $$\left(2^{x^2-5}-0{,}5\right)\cdot \log_6(4x+1)>0$$

   1) $$2^{x^2-5}-0{,}5>0 \Rightarrow 2^{x^2-5}>\frac12=2^{-1} \Rightarrow x^2-5>-1 \Rightarrow x^2>4,$$

   то есть

   $$x<-2 \text{ или } x>2.$$

   2) $$\log_6(4x+1)>0 \Rightarrow 4x+1>1 \Rightarrow x>0.$$

   Область определения:

   $$4x+1>0 \Rightarrow x>-\frac14.$$

   Для положительного произведения множители должны быть одного знака. Так как $$\log_6(4x+1)>0$$ при $$x>0$$, то и первый множитель должен быть положительным:

   $$x<-2 \text{ или } x>2.$$

   Пересечение с $$x>0$$ даёт

   $$x>2.$$

   Кроме того, при $$-\frac14<x<0$$ логарифм отрицателен, а первый множитель положителен только при $$x<-2$$, что невозможно. Значит, других решений нет.

   Итак,

   $$x\in(2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(3;+\infty)$$; б) $$\varnothing$$; в) $$x\in(-10;-3\sqrt{11})$$; г) $$x\in(2;+\infty)$$.