Упр.28.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.40 а)(x+3)log1/7(x) < 0; в)(e(3x-1) - 1)/(x+8) > 0; б)(x-5) корень x+1 < 0; г) x корень x+7 < 0.

1. $$ (x+3)\log_{\frac17}x<0 $$

   Область определения: $$x>0.$$

   Нули множителей:

   $$x+3=0 \Rightarrow x=-3,$$

   $$\log_{\frac17}x=0 \Rightarrow x=1.$$

   При $$x>0$$ множитель $$x+3>0,$$ значит нужно, чтобы

   $$\log_{\frac17}x<0.$$

   Так как основание $$\frac17<1,$$ то

   $$\log_{\frac17}x<0 \iff x>1.$$

2. $$ (x-5)\sqrt{x+1}<0 $$

   Область определения: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

   Так как $$\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при

   $$x-5<0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x+1}>0.$$

   Отсюда

   $$x<5,\quad x>-1.$$

   Пересечение условий:

   $$-1<x<5.$$

3. $$ \frac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0 $$

   Область определения: $$x\ne -8.$$

   Нуль числителя:

   $$e^{3x-1}-1=0 \Rightarrow e^{3x-1}=1 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13.$$

   Числитель положителен при

   $$e^{3x-1}-1>0 \iff x>\frac13,$$

   а знаменатель положителен при $$x>-8.$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Получаем:

   $$x<-8 \quad \text{или} \quad x>\frac13.$$

4. $$ x\sqrt{x+7}<0 $$

   Область определения: $$x+7\ge 0,\quad x\ge -7.$$

   Так как $$\sqrt{x+7}\ge 0,$$ то произведение отрицательно только при

   $$x<0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x+7}>0.$$

   Следовательно,

   $$-7<x<0.$$

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty)$$; б) $$x\in(-1;5)$$; в) $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-7;0)$$.