Упр.28.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.39. а) (2х — 3)(3*х — 4) меньше или равно 0;б) (3log3(x) — 1)(3*x — 4) больше или равно 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$\left(2^x-3\right)\left(3x-4\right)\le 0.$$

Найдём нули множителей:

$$2^x-3=0 \;\Rightarrow\; 2^x=3 \;\Rightarrow\; x=\log_2 3,$$
$$3x-4=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{4}{3}.$$

Так как $$\frac{4}{3}<\log_2 3,$$ то произведение двух линейно-монотонных множителей не положительно на промежутке между корнями, включая концы:

$$x\in\left[\frac{4}{3};\log_2 3\right].$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(3\log_3 x-1\right)\left(3x-4\right)\ge 0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём нули множителей:

$$3\log_3 x-1=0 \;\Rightarrow\; \log_3 x=\frac13 \;\Rightarrow\; x=\sqrt[3]{3},$$
$$3x-4=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{4}{3}.$$

Сравним точки: $$\frac{4}{3}<\sqrt[3]{3}.$$

Произведение неотрицательно там, где множители одного знака: