Упр.28.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.38. а) (х — 3,1) ln (х2 — 10x + 22) больше или равно 0; б) (x — 7,3) ln (х2 — 8x + 8) меньше или равно 0.

а) $$\left(x-3{,}1\right)\ln\left(x^2-10x+22\right)\ge 0$$

Рассмотрим множители по отдельности.

1) $$x-3{,}1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 3{,}1.$$

2) $$\ln\left(x^2-10x+22\right)\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-10x+22\ge 1,$$

то есть

$$x^2-10x+21\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=100-84=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2},\quad x_1=3,\; x_2=7.$$

Тогда

$$x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 3 \;\text{или}\; x\ge 7.$$

Область определения:

$$x^2-10x+22>0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2-10x+22=0$$:

$$D=100-88=12,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 2\sqrt3}{2}=5\pm \sqrt3.$$

Следовательно,

$$x<5-\sqrt3 \;\text{или}\; x>5+\sqrt3.$$

Пересекаем условия:

$$x\ge 3{,}1 \quad \text{и} \quad \left(x\le 3 \;\text{или}\; x\ge 7\right).$$

Подходит только $$x\ge 7.$$

б) $$\left(x-7{,}3\right)\ln\left(x^2-8x+8\right)\le 0$$

1) $$x-7{,}3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 7{,}3.$$

2) $$\ln\left(x^2-8x+8\right)\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-8x+8\ge 1,$$

то есть

$$x^2-8x+7\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=64-28=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2},\quad x_1=1,\; x_2=7.$$

Тогда

$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 1 \;\text{или}\; x\ge 7.$$

Область определения:

$$x^2-8x+8>0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2-8x+8=0$$:

$$D=64-32=32,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4\sqrt2}{2}=4\pm 2\sqrt2.$$

Следовательно,

$$x<4-2\sqrt2 \;\text{или}\; x>4+2\sqrt2.$$

Пересекаем условия:

$$x\ge 7{,}3 \quad \text{и} \quad \left(x\le 1 \;\text{или}\; x\ge 7\right).$$

Получаем

$$x\ge 7{,}3.$$

Ответ

а) $$x\in [3{,}1;7)\cup [7;+\infty)$$;

б) $$x\in (-\infty;1]\cup [7;7{,}3].$$