Упр.28.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.37 а)(x-2)log4(x+2)больше или равно 0; б)(3-x) корень log3(x+5) меньше или равно 0.

а) $$ (x-2)\log_4(x+2)\ge 0 $$

Найдём область определения:

$$x+2>0,\quad x>-2.$$

Произведение неотрицательно, если оба множителя одного знака или один из них равен нулю.

1) $$x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 2,$$

и одновременно

$$\log_4(x+2)\ge 0 \Rightarrow x+2\ge 1 \Rightarrow x\ge -1.$$

С учётом ОДЗ получаем $$x\ge 2.$$

2) $$x-2\le 0 \Rightarrow x\le 2,$$

и одновременно

$$\log_4(x+2)\le 0 \Rightarrow 0<x+2\le 1 \Rightarrow -2<x\le -1.$$

С учётом ОДЗ получаем $$x\in(-2;\,-1].$$

Итак,

$$x\in(-2;\,-1]\cup[2;\,+\infty).$$

б) $$ (3-x)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0 $$

Найдём область определения:

$$\log_3(x+5)\ge 0,\quad x+5>0.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ то

$$\log_3(x+5)\ge 0 \Rightarrow x+5\ge 1 \Rightarrow x\ge -4.$$

Значит, ОДЗ: $$x\ge -4.$$

Так как $$\sqrt{\log_3(x+5)}\ge 0,$$ то произведение $$ (3-x)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0 $$ выполняется, если:

1) $$3-x\le 0 \Rightarrow x\ge 3,$$

или

2) $$\sqrt{\log_3(x+5)}=0 \Rightarrow \log_3(x+5)=0 \Rightarrow x+5=1 \Rightarrow x=-4.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$x=-4 \text{ или } x\ge 3.$$

То есть

$$x\in\{-4\}\cup[3;\,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-2;\,-1]\cup[2;\,+\infty)$$; б) $$x\in\{-4\}\cup[3;\,+\infty).$$