Упр.28.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.36. а) x4 — 8x — 6×3 + 12х2 больше или равно 0; б) x4 + 12x < 13х2.

а)

$$ x^4-8x-6x^3+12x^2\ge 0 $$
$$ x^4-6x^3+12x^2-8x\ge 0 $$
$$ x(x^3-6x^2+12x-8)\ge 0 $$
$$ x\bigl((x-2)^3\bigr)\ge 0 $$
$$ x(x-2)^3\ge 0 $$
Так как степень множителя $$x-2$$ нечётная, знак выражения определяется знаками множителей $$x$$ и $$x-2$$:

$$ x(x-2)^3\ge 0 \iff x(x-2)\ge 0 $$

Отсюда
$$ x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 2. $$

б)

$$ x^4+12x<13x^2 $$
$$ x^4-13x^2+12x<0 $$
$$ x(x^3-13x+12)<0 $$
$$ x(x-1)(x^2+x-12)<0 $$
$$ x(x-1)(x+4)(x-3)<0 $$
Критические точки: $$-4,\ 0,\ 1,\ 3$$. Исследуем знак произведения на промежутках:

• $$(-\infty,-4)$$ — знак положительный;
• $$(-4,0)$$ — знак отрицательный;
• $$(0,1)$$ — знак положительный;
• $$(1,3)$$ — знак отрицательный;
• $$(3,+\infty)$$ — знак положительный.

Так как требуется $$<0$$, получаем:
$$ x\in(-4,0)\cup(1,3). $$

Ответ

а) $$x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$$; б) $$x\in(-4,0)\cup(1,3)$$.