Упр.28.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 28.34 а)9(x+2) + 4*3(2x+2) больше или равно 4 1\3;б)8(x-2) + 3*2(3x-2) меньше или равно 24 1/2.

а) $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}\ge 4\frac13$$

Преобразуем всё к основанию $$3$$:

$$9^{x+2}=3^{2x+4}, \qquad 3^{2x+2}=9\cdot 3^{2x}.$$

Тогда

$$3^{2x+4}+4\cdot 9\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}.$$

Вынесем $$3^{2x}$$:

$$3^{2x}(3^4+36)\ge \frac{13}{3},$$
$$117\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}.$$

$$3^{2x}\ge \frac{13}{351}=\frac{1}{27}=3^{-3}.$$

Так как основание $$3>1$$, получаем:

$$2x\ge -3,$$
$$x\ge -\frac32.$$

б) $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}\le 24\frac12$$

Преобразуем к основанию $$2$$:

$$8^{x-2}=2^{3x-6}, \qquad 3\cdot 2^{3x-2}=3\cdot \frac{2^{3x}}{4}.$$

Тогда

$$2^{3x-6}+\frac34\cdot 2^{3x}\le \frac{49}{2}.$$

Вынесем $$2^{3x}$$:

$$2^{3x}\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{4}\right)\le \frac{49}{2},$$
$$2^{3x}\cdot \frac{49}{64}\le \frac{49}{2}.$$

Делим на $$\frac{49}{64}$$:

$$2^{3x}\le 32=2^5.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$3x\le 5,$$
$$x\le \frac53.$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac32;+\infty\right)$$; б) $$x\in\left(-\infty;\frac53\right]$$.